Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7916871

Prosta o równaniu y = ax przecina parabolę o równaniu  1 2 1 y = 2x − 2 w dwóch punktach A i B . Wykaż, że styczne do tej paraboli w punktach A i B są prostopadłe.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Musimy najpierw wyznaczyć pierwsze współrzędne punktów wspólnych danej prostej i paraboli – podstawiamy y = ax do równania paraboli.

ax = 1-x2 − 1- 2 2 1 2 1 -x − ax − --= 0 2 2 2 Δ = a + 1 ∘ -2---- ∘ -2---- x 1 = a− a + 1, x 2 = a+ a + 1.

Liczymy pochodną

 ′ f (x) = x.

Współczynniki interesujących nas stycznych są więc równe

 ′ ∘ ------ f (x1) = a − a 2 + 1 ′ ∘ --2--- f (x2) = a + a + 1.

Teraz wystarczy zauważyć, że

 ∘ ------ ∘ ------ f′(x1)⋅ f′(x 2) = (a− a2 + 1)(a + a2 + 1) = a 2 − (a2 + 1) = − 1,

co dowodzi, że styczne rzeczywiście są prostopadłe.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!