/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Styczna do wykresu/Wielomiany

Zadanie nr 8131963

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej y = f (x) wiedząc, że jest on styczny do prostej y = 5x − 14 w punkcie (3,1) oraz przechodzi przez punkt ( ) − 1,8 2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szukamy funkcji w postaci 2 f(x ) = ax + bx + c . Liczymy pochodną tej funkcji

f′(x) = 2ax + b .

Wiemy, że styczna do wykresu w punkcie x = 3 ma współczynnik kierunkowy równy 5, więc

5 = f′(3) = 6a + b.

Znamy dodatkowo dwa punkty na wykresie: (3,1) i ( ) − 1,8 2 , co prowadzi do układu równań

( |{ 5 = 6a + b 1 = 9a + 3b + c |( 1 1 8 = 4 a− 2b+ c

Odejmujemy teraz od drugiego równania trzecie (żeby skrócić c ) i mamy

− 7 = 9a− 1a + 3b + 1-b = 35-a+ 7b / ⋅ 2 4 2 4 2 7 5 − 2 = -a + b. 2

Odejmujemy teraz to równanie od pierwszego równania układu (żeby skrócić b )

5 7 7 = 6a − -a = --a ⇒ a = 2. 2 2

Stąd b = 5 − 6a = 5− 1 2 = − 7 i

c = 1− 9a− 3b = 1 − 18 + 21 = 4.

PIC

 
Odpowiedź: f (x) = 2x2 − 7x + 4

Wersja PDF