/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Styczna do wykresu/Wielomiany

Zadanie nr 8437829

Funkcja f określona jest wzorem 3 f (x ) = x − 3x + 2 dla każdej liczby rzeczywistej x . Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji f , które przechodzą przez punkt (2,− 4) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Musimy sprawdzić w jakim punkcie styczna do wykresu f(x) jest prostą przechodzącą przez punkt (2,− 4) . Zacznijmy od wyznaczenia ogólnej postaci stycznej do danej funkcji w punkcie (a,f(a)) = (a ,a3 − 3a + 2 ) . Liczymy pochodną.

f′(x) = 3x 2 − 3.

Styczna do paraboli w punkcie (a,f(a)) ma więc współczynnik kierunkowy równy 2 3a − 3 , czyli jest to prosta o równaniu

y = f′(a)(x − a)+ f(a) y = (3a2 − 3)(x − a) + a3 − 3a+ 2.

Sprawdzamy teraz kiedy styczna przechodzi przez dany punkt (2 ,−4 ) .

− 4 = (3a2 − 3)(2 − a) + a3 − 3a + 2 2 3 3 0 = 6a − 6 − 3a + 3a + a − 3a + 2 + 4 0 = − 2a3 + 6a2 0 = − 2a2(a − 3).

Mamy stąd a = 0 lub a = 3 . Styczne mają wtedy odpowiednio równania

y = − 3x+ 2 y = 24(x − 3) + 20 = 2 4x− 52.

PIC

 
Odpowiedź: y = −3x + 2 i y = 24x − 5 2

Wersja PDF