/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Styczna do wykresu/Funkcje wymierne

Zadanie nr 4297910

Wykaż, że wszystkie trójkąty ograniczone osiami układu współrzędnych i dowolną styczną do wykresu funkcji f(x ) = 4x , określonej dla x ⁄= 0 , mają równe pola.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Spróbujemy napisać styczną do wykresu danej funkcji w dowolnym punkcie ( ) P = (a,f(a)) = a, 4 a , dla a ⁄= 0 . Liczymy pochodną

′ 4-- f (x) = − x2.

Styczna do wykresu w punkcie P ma więc postać

′ 4-- 4- 4-- 8- y = f (a)(x − a) + f(a) = − a2(x − a)+ a = − a2x + a .

Punkt przecięcia tej stycznej z osią Oy to ( ) A = 0 , 8a . Sprawdźmy jeszcze gdzie ta prosta przecina oś Ox .

-4- 8- a2- 0 = − a2 x+ a /⋅ 4 2 x = 8-⋅ a--= 2a. a 4

To oznacza, że punkt przecięcia stycznej z osią Ox to punkt B = (2a,0) . Pole trójkąta AOB jest więc równe

| | P = 1-⋅AO ⋅BO = 1-⋅||8|| ⋅|2a| = 8⋅ 1--⋅|a| = 8. AOB 2 2 |a| |a|

Zatem rzeczywiście, niezależnie od wartości a , pole trójkąta AOB jest równe 8.

Wersja PDF