Zadanie nr 4362606
Funkcja jest określona wzorem
dla każdej liczby rzeczywistej
. Punkt
należy do wykresu funkcji
. Oblicz
oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji
w punkcie
.
Rozwiązanie
Zauważmy najpierw, że dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych
– bo trójmian w mianowniku ułamka jest zawsze dodatni. Wyznaczmy teraz pierwszą współrzędną punktu
. W tym celu rozwiązujemy równanie
![4x 2 + 3x 4 = -2---------- x + 2x + 5 4x2 + 8x + 20 = 4x 2 + 3x 5x = − 2 0 ⇐ ⇒ x = − 4.](https://img.zadania.info/zad/4362606/HzadR3x.png)
Mamy zatem i współczynnik kierunkowy interesującej nas stycznej to wartość pochodnej w punkcie
. Liczymy pochodną funkcji
.
![′ (4x 2 + 3x)′ ⋅(x2 + 2x + 5) − (4x 2 + 3x )⋅(x 2 + 2x + 5)′ f (x) = ---------------------(x2 +-2x-+-5)2-------------------- = (8x-+--3)(x2 +-2x-+-5)−--(4x2-+-3x)(2x-+--2) = (x2 + 2x + 5)2 .](https://img.zadania.info/zad/4362606/HzadR7x.png)
Ponieważ interesuje nas tylko wartość pochodnej w jednym punkcie, nie musimy upraszczać tego wyrażenia – wystarczy obliczyć . Liczymy
![′ −-29-⋅(16-−-8-+-5)-−-52-⋅(−-6) −-2-9⋅13-+-5-2⋅6 -5- f (− 4) = (1 6− 8+ 5)2 = 132 = − 13.](https://img.zadania.info/zad/4362606/HzadR9x.png)
Interesująca nas styczna ma więc równanie
![y = f ′(x0) ⋅(x − x0) + y0 = − -5-(x + 4) + 4 1 3 -5- 20- -5- 32- y = − 1 3x + 4 − 13 = − 13x + 13.](https://img.zadania.info/zad/4362606/HzadR10x.png)
Na koniec wykres dla ciekawskich.
Odpowiedź: