/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Styczna do wykresu/Funkcje wymierne

Zadanie nr 4362606

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Funkcja f jest określona wzorem -4x2+3x- f (x) = x2+2x+ 5 dla każdej liczby rzeczywistej x . Punkt P = (x0,4) należy do wykresu funkcji f . Oblicz x0 oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P .

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych R – bo trójmian w mianowniku ułamka jest zawsze dodatni. Wyznaczmy teraz pierwszą współrzędną punktu P . W tym celu rozwiązujemy równanie

4x 2 + 3x 4 = -2---------- x + 2x + 5 4x2 + 8x + 20 = 4x 2 + 3x 5x = − 2 0 ⇐ ⇒ x = − 4.

Mamy zatem P = (− 4,4) i współczynnik kierunkowy interesującej nas stycznej to wartość pochodnej w punkcie x = − 4 . Liczymy pochodną funkcji f .

′ (4x 2 + 3x)′ ⋅(x2 + 2x + 5) − (4x 2 + 3x )⋅(x 2 + 2x + 5)′ f (x) = ---------------------(x2 +-2x-+-5)2-------------------- = (8x-+--3)(x2 +-2x-+-5)−--(4x2-+-3x)(2x-+--2) = (x2 + 2x + 5)2 .

Ponieważ interesuje nas tylko wartość pochodnej w jednym punkcie, nie musimy upraszczać tego wyrażenia – wystarczy obliczyć ′ f (− 4) . Liczymy

′ −-29-⋅(16-−-8-+-5)-−-52-⋅(−-6) −-2-9⋅13-+-5-2⋅6 -5- f (− 4) = (1 6− 8+ 5)2 = 132 = − 13.

Interesująca nas styczna ma więc równanie

y = f ′(x0) ⋅(x − x0) + y0 = − -5-(x + 4) + 4 1 3 -5- 20- -5- 32- y = − 1 3x + 4 − 13 = − 13x + 13.

Na koniec wykres dla ciekawskich.

ZINFO-FIGURE

 
Odpowiedź: − 153x + 3123

Wersja PDF