/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Styczna do wykresu/Funkcje wymierne

Zadanie nr 6483688

Dana jest funkcja f określona wzorem 2x3+k- f(x) = x dla każdej liczby rzeczywistej x ⁄= 0 . Oblicz wartość k , dla której prosta o równaniu y = − 5x jest styczna do wykresu funkcji f .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Wzór danej funkcji możemy zapisać w postaci

3 f (x) = 2x--+--k= 2x2 + -k. x x

Jej pochodna jest więc równa

k 4x3 − k f ′(x ) = 4x − ---= -------- x2 x2

Styczna do wykresu funkcji w punkcie x = m ma więc postać

3 3 y = f′(m )(x− m )+ f (m) = 4m--−--k⋅(x − m) + 2m---+-k m 2 m 4m-3-−-k 4m-3-−-k 2m-3-+-k 4m-3 −-k 2k−--2m-3 y = m 2 ⋅x − m + m = m 2 ⋅x + m .

Pozostało sprawdzić, kiedy jest to prosta y = − 5x , co sprowadza się do rozwiązania układu równań

{ 4m3−k- m 2 3= − 5 2k−m2m--= 0. { 4m 3 − k = − 5m 2 k − m 3 = 0.

Podstawiamy teraz 3 2 k = 4m + 5m z pierwszego równania do drugiego

( 5 ) 0 = 4m 3 + 5m 2 − m3 = 3m 3 + 5m 2 = 3m 2 m + -- . 3

Rozwiązanie m = 0 odrzucamy ze względu na dziedzinę funkcji f i mamy m = − 53 . Z drugiego równania mamy wtedy

k = m 3 = − 125-. 27

Na koniec ilustracja całej sytuacji.

PIC

 
Odpowiedź: k = − 12257-

Wersja PDF