/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Styczna do wykresu/Funkcje wymierne

Zadanie nr 7263993

Punkt P = (1;3) należy do wykresu funkcji x2+ax-+3- f(x) = x+b , gdzie b ⁄= − 1 . Styczna do wykresu danej funkcji, poprowadzona w punkcie P , jest prostopadła do prostej o równaniu 2x + y + 7 = 0 . Oblicz współczynniki a i b oraz napisz równanie tej stycznej.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Na początku wykorzystajmy informację o tym, że punkt P = (1;3 ) należy do wykresu funkcji.

3 = f (1) = 1-+-a-+-3 1 + b 3 + 3b = 1+ a + 3 ⇒ a = 3b − 1.

Zatem funkcja ma wzór

x2 + ax + 3 x2 + (3b − 1)x + 3 f(x) = ------------= ------------------. x + b x + b

Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie P to dokładnie f ′(1) , obliczymy zatem pochodną ′ f (x) .

(2x + (3b − 1))(x+ b)− (x2 + (3b− 1)x+ 3)⋅1 f′(x) = -------------------------------------------------= (x + b )2 2x 2 + 2xb + (3b− 1)x + (3b − 1)b − x2 − (3b − 1)x − 3 = -------------------------------2------------------------= (x + b) x 2 + 2xb + (3b− 1)b− 3 = ---------(x-+--b)2-------- ′ 1-+-2b-+-3b-2 −-b-−-3 3b2-+-b-−-2- f (1) = (1 + b)2 = (1+ b )2 .

Z drugiej strony wiemy, że styczna ta jest prostopadła do prostej

y = − 2x− 7,

zatem jej współczynnik kierunkowy jest równy 1 2 . Daje to nam równanie

1- 3b2 +-b−--2- 2 = (1 + b)2 1+ 2b+ b2 = 6b2 + 2b − 4 2 5b − 5 = 0 5(b− 1)(b+ 1) = 0.

Ponieważ z założenia b ⁄= −1 , mamy b = 1 i a = 3b− 1 = 2 .

Szukana styczna jest postaci y = 1x + c 2 . Współczynnik c wyliczamy z faktu, że ta styczna przechodzi przez punkt P(1 ;3) .

1 5 3 = --+ c ⇒ c = -. 2 2

Na koniec, dla ciekawskich, obrazek całej sytuacji.

PIC

 
Odpowiedź: a = 2,b = 1 , styczna: y = 1x + 5 2 2

Wersja PDF