Zadanie nr 1218894
Na okręgu o promieniu 3 opisano trójkąt prostokątny o jednej z przyprostokątnych długości 12. Oblicz obwód tego trójkąta.
Rozwiązanie
Szkicujemy trójkąt prostokątny.
Korzystamy ze wzoru
![r = a+--b−-c- 2](https://img.zadania.info/zad/1218894/HzadR1x.gif)
na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości
i
oraz przeciwprostokątnej długości
. Jeżeli oznaczymy
, to mamy
![3 = r = a-+-12-−-c ⇒ 6 = a− c+ 1 2 ⇒ c− a = 6. 2](https://img.zadania.info/zad/1218894/HzadR7x.gif)
Ponadto, na mocy twierdzenia Pitagorasa
![14 4 = b2 = c2 − a2 = (c − a)(c+ a) = 6(c + a).](https://img.zadania.info/zad/1218894/HzadR8x.gif)
Mamy zatem
![{ c − a = 6 c + a = 24 .](https://img.zadania.info/zad/1218894/HzadR9x.gif)
Jeżeli teraz odejmiemy od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić ), to mamy
![2a = 1 8 ⇒ a = 9.](https://img.zadania.info/zad/1218894/HzadR11x.gif)
Stąd i obwód trójkąta
jest równy
![a + b + c = 9 + 12 + 15 = 36.](https://img.zadania.info/zad/1218894/HzadR14x.gif)
Odpowiedź: 36