Zadanie nr 2574626
Jeden z kątów trójkąta prostokątnego ma miarę , promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość 1. Oblicz długości boków trójkąta.
Rozwiązanie
Zacznijmy od rysunku.
Jeżeli oznaczymy , to z podanego kąta możemy wyliczyć długości pozostałych boków trójkąta
![-a--= cos60∘ = 1- ⇒ AB = 2a AB 2 AC ∘ √ -- √ -- ----= tg 60 = 3 ⇒ AC = 3a. a](https://img.zadania.info/zad/2574626/HzadR2x.gif)
Skorzystamy teraz ze wozru na pole trójkąta .
![√ -- 1 √ -- 3a+ 3a P = -(a + 2a + 3a )⋅1 = ---------. 2 2](https://img.zadania.info/zad/2574626/HzadR4x.gif)
Z drugiej strony,
![√ -- 1 3a2 P = --⋅AC ⋅CB = -----. 2 2](https://img.zadania.info/zad/2574626/HzadR5x.gif)
Zatem
![√ -- √ -- 3a + 3a 3a2 ----------= ------ 2√ -- √ -- 2 3+ 3 = 3a 3 √ -- a = √---+ 1 = 3+ 1. 3](https://img.zadania.info/zad/2574626/HzadR6x.gif)
Odpowiedź: