W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 i 20 wpisano... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Oblicz długość..., 2962786

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Prostokątny

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Oblicz długość...

Zadanie nr 2962786

W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 i 20 wpisano okrąg. Oblicz długość odcinka łączącego wierzchołek kąta prostego tego trójkąta z punktem wspólnym okręgu i przeciwprostokątnej.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Sposób I

Poprowadźmy wysokość $CP$ danego trójkąta. Długość odcinka $CM$ obliczymy z trójkąta prostokątnego $CMP$ . Zanim jednak zajmiemy się tym trójkątem, popatrzmy na trójkąt prostokątny $CBP$ . Ponieważ jest on podobny do wyjściowego trójkąta (bo oba są prostokątne i mają wspólny kąt $∡B$ ), łatwo można wyliczyć długości jego boków.

∘ ---------- BA = 152 + 202 = √ 6-25 = 25 BP-- BC-- 152- BC = BA ⇒ BP = 25 = 9 P C AC 1 5⋅20 ----= ---- ⇒ PC = -------= 12. BC BA 25

Skoro znamy długość $BP$ , to długość odcinka $PM$ możemy obliczyć jako różnicę długości $BM$ i $BP$ . Do tego jednak musimy znać długość $BM = BO = BC − OC$ . Długość $OC$ to po prostu długość $r$ promienia okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ , którą możemy obliczyć ze wzoru na pole: $P = pr$ , gdzie $p$ jest połową obwodu trójkąta.

P 2P 15 ⋅20 r = p-= 2p-= 15-+-20-+-25-= 5.

Mamy więc

BM = BO = BC − OC = 15 − 5 = 1 0 P M = BM − BP = 10 − 9 = 1 .

Pozostało zastosować twierdzenie Pitagorasa w trójkącie $CMP$ .

∘ ------------ √ -------- √ ---- CM = PC 2 + PM 2 = 144 + 1 = 1 45.

Sposób II

Długość odcinka $CM$ możemy obliczyć z twierdzenia cosinusów w trójkącie $ACM$ . Zanim to jednak zrobimy, musimy wyliczyć $cos∡A$ i $AM$ .

AC 20 4 cos ∡A = ----= ---= -. AB 25 5

Aby obliczyć długość odcinka $AM$ , zaznaczmy pozostałe punkty styczności okręgu wpisanego z bokami trójkąta i oznaczmy $AM = AN = x$ , $CN = CO = y$ i $BM = BO = z$ . Mamy wtedy układ równań.