Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2962786

W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 i 20 wpisano okrąg. Oblicz długość odcinka łączącego wierzchołek kąta prostego tego trójkąta z punktem wspólnym okręgu i przeciwprostokątnej.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Sposób I

Poprowadźmy wysokość CP danego trójkąta. Długość odcinka CM obliczymy z trójkąta prostokątnego CMP . Zanim jednak zajmiemy się tym trójkątem, popatrzmy na trójkąt prostokątny CBP . Ponieważ jest on podobny do wyjściowego trójkąta (bo oba są prostokątne i mają wspólny kąt ∡B ), łatwo można wyliczyć długości jego boków.

 ∘ ---------- BA = 152 + 202 = √ 6-25 = 25 BP-- BC-- 152- BC = BA ⇒ BP = 25 = 9 P C AC 1 5⋅20 ----= ---- ⇒ PC = -------= 12. BC BA 25

Skoro znamy długość BP , to długość odcinka PM możemy obliczyć jako różnicę długości BM i BP . Do tego jednak musimy znać długość BM = BO = BC − OC . Długość OC to po prostu długość r promienia okręgu wpisanego w trójkąt ABC , którą możemy obliczyć ze wzoru na pole: P = pr , gdzie p jest połową obwodu trójkąta.

 P 2P 15 ⋅20 r = p-= 2p-= 15-+-20-+-25-= 5.

Mamy więc

BM = BO = BC − OC = 15 − 5 = 1 0 P M = BM − BP = 10 − 9 = 1 .

Pozostało zastosować twierdzenie Pitagorasa w trójkącie CMP .

 ∘ ------------ √ -------- √ ---- CM = PC 2 + PM 2 = 144 + 1 = 1 45.

Sposób II

Długość odcinka CM możemy obliczyć z twierdzenia cosinusów w trójkącie ACM . Zanim to jednak zrobimy, musimy wyliczyć cos∡A i AM .

 AC 20 4 cos ∡A = ----= ---= -. AB 25 5

Aby obliczyć długość odcinka AM , zaznaczmy pozostałe punkty styczności okręgu wpisanego z bokami trójkąta i oznaczmy AM = AN = x , CN = CO = y i BM = BO = z . Mamy wtedy układ równań.

( |{ x + y = 20 x + z = 25 |( z + y = 15.

Odejmując od drugiego równania trzecie (żeby skrócić z ) mamy

x − y = 10.

Dodajemy to do pierwszego równania (żeby skrócić y ) i mamy

2x = 30 ⇒ x = 15.

Pozostało zastosować twierdzenie cosinusów.

CM 2 = AC 2 + AM 2 − 2AC ⋅AM cos∡A 4 CM 2 = 400 + 22 5− 2⋅20 ⋅15 ⋅--= 400 + 225 − 2 ⋅20 ⋅12 = 1 45 √ ---- 5 CM = 145 .

 
Odpowiedź: √ ---- 145

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!