Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Sposób I
Poprowadźmy wysokość danego trójkąta. Długość odcinka
obliczymy z trójkąta prostokątnego
. Zanim jednak zajmiemy się tym trójkątem, popatrzmy na trójkąt prostokątny
. Ponieważ jest on podobny do wyjściowego trójkąta (bo oba są prostokątne i mają wspólny kąt
), łatwo można wyliczyć długości jego boków.
Skoro znamy długość , to długość odcinka
możemy obliczyć jako różnicę długości
i
. Do tego jednak musimy znać długość
. Długość
to po prostu długość
promienia okręgu wpisanego w trójkąt
, którą możemy obliczyć ze wzoru na pole:
, gdzie
jest połową obwodu trójkąta.
Mamy więc
Pozostało zastosować twierdzenie Pitagorasa w trójkącie .
Sposób II
Długość odcinka możemy obliczyć z twierdzenia cosinusów w trójkącie
. Zanim to jednak zrobimy, musimy wyliczyć
i
.
Aby obliczyć długość odcinka , zaznaczmy pozostałe punkty styczności okręgu wpisanego z bokami trójkąta i oznaczmy
,
i
. Mamy wtedy układ równań.
Odejmując od drugiego równania trzecie (żeby skrócić ) mamy
Dodajemy to do pierwszego równania (żeby skrócić ) i mamy
Pozostało zastosować twierdzenie cosinusów.
Odpowiedź: