/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Oblicz długość...

Zadanie nr 3032388

Oblicz obwód trójkąta prostokątnego o polu powierzchni równym 2 52 cm , wiedząc, że długości jego przyprostokątnych różnią się o 5 cm.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy trójkąt prostokątny.

PIC

Jeżeli oznaczymy długości przyprostokątnych przez a i b to mamy układ równań

{ a− b = 5 1 2ab = 52.

Podstawiając a = b + 5 z pierwszego równania do drugiego, otrzymujemy

(b + 5)b = 104 b 2 + 5b − 10 4 = 0 2 Δ = 25 + 41 6 = 441 = 2 1 − 5+ 21 − 5 − 21 b = ---------= 8 ∨ b = ---------= − 13. 2 2

Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy b = 8 oraz a = b+ 5 = 13 . Długość przeciwprostokątnej wyliczamy z twierdzenia Pitagorasa

∘ -2----2 ∘ --2----2- √ --------- √ ---- a + b = 13 + 8 = 169 + 6 4 = 233.

Obwód trójkąta jest więc równy

√ ---- (21+ 233) cm .

 
Odpowiedź: √ ---- (21 + 233 ) cm

Wersja PDF