/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Oblicz długość...

Zadanie nr 3478858

Na okręgu o promieniu 2 opisano trójkąt prostokątny o jednej z przyprostokątnych długości 12. Oblicz obwód tego trójkąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy trójkąt prostokątny.

PIC

Korzystamy ze wzoru

r = a+--b−-c- 2

na promień r okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i b oraz przeciwprostokątnej długości c . Jeżeli oznaczymy b = 12 , to mamy

2 = r = a-+-12-−-c ⇒ 4 = a− c+ 1 2 ⇒ c− a = 8. 2

Ponadto, na mocy twierdzenia Pitagorasa

14 4 = b2 = c2 − a2 = (c − a)(c+ a) = 8(c + a).

Mamy zatem

{ c − a = 8 c + a = 18 .

Jeżeli teraz odejmiemy od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić c ), to mamy

2a = 2 0 ⇒ a = 5.

Stąd c = a + 8 = 13 i obwód trójkąta ABC jest równy

a + b + c = 5 + 12 + 13 = 30.

 
Odpowiedź: 30

Wersja PDF