Zadanie nr 3478858
Na okręgu o promieniu 2 opisano trójkąt prostokątny o jednej z przyprostokątnych długości 12. Oblicz obwód tego trójkąta.
Rozwiązanie
Szkicujemy trójkąt prostokątny.
Korzystamy ze wzoru
![r = a+--b−-c- 2](https://img.zadania.info/zad/3478858/HzadR1x.gif)
na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości
i
oraz przeciwprostokątnej długości
. Jeżeli oznaczymy
, to mamy
![2 = r = a-+-12-−-c ⇒ 4 = a− c+ 1 2 ⇒ c− a = 8. 2](https://img.zadania.info/zad/3478858/HzadR7x.gif)
Ponadto, na mocy twierdzenia Pitagorasa
![14 4 = b2 = c2 − a2 = (c − a)(c+ a) = 8(c + a).](https://img.zadania.info/zad/3478858/HzadR8x.gif)
Mamy zatem
![{ c − a = 8 c + a = 18 .](https://img.zadania.info/zad/3478858/HzadR9x.gif)
Jeżeli teraz odejmiemy od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić ), to mamy
![2a = 2 0 ⇒ a = 5.](https://img.zadania.info/zad/3478858/HzadR11x.gif)
Stąd i obwód trójkąta
jest równy
![a + b + c = 5 + 12 + 13 = 30.](https://img.zadania.info/zad/3478858/HzadR14x.gif)
Odpowiedź: 30