Oznaczmy przez i
długości boków prostokąta, a
niech będzie długością jego przekątnej.
W szczególności
Sposób I
Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta z promieniem okręgu wpisanego:
gdzie i
jest połową obwodu. Mamy zatem
Korzystamy teraz z twierdzenia Pitagorasa.
Stąd i obwód prostokąta jest równy
Sposób II
Korzystamy ze wzoru
na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości
i
oraz przeciwprostokątnej długości
. Mamy zatem
Korzystamy teraz z twierdzenia Pitagorasa.
Stąd i obwód prostokąta jest równy
Sposób III
Tym razem nie będziemy korzystać z żadnych wzorów z promieniem okręgu wpisanego – zamiast tego trochę dokładniej popatrzymy na rysunek.
Zauważmy, że jeżeli i
są punktami styczności okręgu wpisanego w trójkąt
i odpowiednio prostymi
i
, to
i
. Zatem na mocy twierdzenia Pitagorasa
Korzystamy teraz z podanego pola: i mamy
Odpowiedź: 34