/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Oblicz długość...

Zadanie nr 4757294

Pole prostokąta ABCD jest równe 60, a promień okręgu wpisanego w trójkąt BCD jest równy 2. Oblicz obwód tego prostokąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy przez a i b długości boków prostokąta, a c niech będzie długością jego przekątnej.

PIC

W szczególności

60 = PABCD = ab.

Sposób I

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta z promieniem okręgu wpisanego:

PBCD = pr,

gdzie r = 2 i a+b+c- p = 2 jest połową obwodu. Mamy zatem

a+ b+ c 30 = ---------⋅ 2 = a+ b+ c 2

Korzystamy teraz z twierdzenia Pitagorasa.

c2 = a 2 + b2 = (a + b )2 − 2ab = (30− c)2 − 120 = 900 − 6 0c+ c2 − 120 60c = 780 ⇒ c = 1 3.

Stąd a+ b = 30 − c = 17 i obwód prostokąta jest równy

2a + 2b = 34.

Sposób II

Korzystamy ze wzoru

r = a+--b−-c- 2

na promień r okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i b oraz przeciwprostokątnej długości c . Mamy zatem

a+--b−--c 2 = 2 ⇒ a + b− c = 4.

Korzystamy teraz z twierdzenia Pitagorasa.

2 2 2 2 2 2 c = a + b = (a + b) − 2ab = (4 + c) − 120 = 16+ 8c+ c − 1 20 104 = 8c ⇒ c = 13.

Stąd a+ b = 30 − c = 17 i obwód prostokąta jest równy

2a + 2b = 34.

Sposób III

Tym razem nie będziemy korzystać z żadnych wzorów z promieniem okręgu wpisanego – zamiast tego trochę dokładniej popatrzymy na rysunek.

PIC

Zauważmy, że jeżeli E,F i G są punktami styczności okręgu wpisanego w trójkąt BCD i odpowiednio prostymi CD ,BC i BD , to DG = DE = a − 2 i BG = BF = b− 2 . Zatem na mocy twierdzenia Pitagorasa

2 2 2 2 2 2 2 2 a + b = BC + CD = BD = (a+ b − 4) = a + b + 16 − 8a − 8b+ 2ab

Korzystamy teraz z podanego pola: ab = 60 i mamy

2 2 2 2 a + b = a + b + 16− 8a − 8b + 120 8a+ 8b = 136 ⇒ 2a+ 2b = 34.

 
Odpowiedź: 34

Wersja PDF