Zadanie nr 4757294
Pole prostokąta jest równe 60, a promień okręgu wpisanego w trójkąt
jest równy 2. Oblicz obwód tego prostokąta.
Rozwiązanie
Oznaczmy przez i
długości boków prostokąta, a
niech będzie długością jego przekątnej.
W szczególności

Sposób I
Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta z promieniem okręgu wpisanego:

gdzie i
jest połową obwodu. Mamy zatem

Korzystamy teraz z twierdzenia Pitagorasa.

Stąd i obwód prostokąta jest równy

Sposób II
Korzystamy ze wzoru

na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości
i
oraz przeciwprostokątnej długości
. Mamy zatem

Korzystamy teraz z twierdzenia Pitagorasa.

Stąd i obwód prostokąta jest równy

Sposób III
Tym razem nie będziemy korzystać z żadnych wzorów z promieniem okręgu wpisanego – zamiast tego trochę dokładniej popatrzymy na rysunek.

Zauważmy, że jeżeli i
są punktami styczności okręgu wpisanego w trójkąt
i odpowiednio prostymi
i
, to
i
. Zatem na mocy twierdzenia Pitagorasa

Korzystamy teraz z podanego pola: i mamy

Odpowiedź: 34