Zadanie nr 4885880
W trójkącie prostokątnym (
,
) poprowadzono prostą przechodzącą przez wierzchołek
trójkąta która przecina przeciwprostokątną w punkcie
, takim, że
. Oblicz długość przeciwprostokątnej jeśli
i
.
Rozwiązanie
Zaczynamy naturalnie od rysunku.
Sposób I
Z podanej informacji o stosunku w jakim punkt dzieli bok
wynika, że
![PACD--= 2. PBCD](https://img.zadania.info/zad/4885880/HzadR3x.gif)
(bo trójkąty te mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka , a stosunek podstaw wynosi 2). Jeżeli oznaczymy
i
, to możemy te pola wyliczyć ze wzoru z sinusem.
![P 1 xbsin 60∘ 2 = --ACD- = --2--√--------- PBCD 12x⋅ 3sin 30∘ √ -- 2 = b√--3 = b. 3](https://img.zadania.info/zad/4885880/HzadR7x.gif)
Przeciwprostokątną liczymy z twierdzenia Pitagorasa
![√ ------ √ -- AB = 3 + 4 = 7.](https://img.zadania.info/zad/4885880/HzadR8x.gif)
Sposób II
Tym razem skorzystamy z twierdzenia sinusów. Jeżeli oznaczymy to
![sin ∡BDC = sin (180∘ − φ) = sin φ = sin ∡ADC .](https://img.zadania.info/zad/4885880/HzadR10x.gif)
Piszemy teraz twierdzenia sinusów w trójkątach i
.
![{ AC--= -AD-∘- siBnCφ sinB6D0 sinφ-= sin30∘- ( -b-- 2BD- 4BD- { sinφ = √3 = √3 √3 BD2 ( sinφ-= -1- = 2BD . 2](https://img.zadania.info/zad/4885880/HzadR13x.gif)
Podstawiamy teraz z drugiego równania do pierwszego i mamy
![√ -- 4BD 3 2 b = √----⋅sinφ = ----- ⋅√---sinφ = 2. 3 sin φ 3](https://img.zadania.info/zad/4885880/HzadR15x.gif)
Stąd
![∘ ----2-----2- √ ------ √ -- AB = AC + BC = 4+ 3 = 7.](https://img.zadania.info/zad/4885880/HzadR16x.gif)
Odpowiedź: