Zadanie nr 4885880
W trójkącie prostokątnym (
,
) poprowadzono prostą przechodzącą przez wierzchołek
trójkąta która przecina przeciwprostokątną w punkcie
, takim, że
. Oblicz długość przeciwprostokątnej jeśli
i
.
Rozwiązanie
Zaczynamy naturalnie od rysunku.
Sposób I
Z podanej informacji o stosunku w jakim punkt dzieli bok
wynika, że

(bo trójkąty te mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka , a stosunek podstaw wynosi 2). Jeżeli oznaczymy
i
, to możemy te pola wyliczyć ze wzoru z sinusem.

Przeciwprostokątną liczymy z twierdzenia Pitagorasa

Sposób II
Tym razem skorzystamy z twierdzenia sinusów. Jeżeli oznaczymy to

Piszemy teraz twierdzenia sinusów w trójkątach i
.

Podstawiamy teraz z drugiego równania do pierwszego i mamy

Stąd

Odpowiedź: