Zadanie nr 5467873
W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych jest o 7 dłuższa od drugiej, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 3. Oblicz obwód trójkąta
.
Rozwiązanie
Szkicujemy trójkąt prostokątny.
Korzystamy ze wzoru
![r = a+--b−-c- 2](https://img.zadania.info/zad/5467873/HzadR1x.gif)
na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości
i
oraz przeciwprostokątnej długości
. Mamy więc
![3 = r = a-+-a-+-7−--c ⇒ 6 = 2a − c+ 7 ⇒ c = 2a+ 1. 2](https://img.zadania.info/zad/5467873/HzadR6x.gif)
Ponadto, na mocy twierdzenia Pitagorasa
![a 2 + (a + 7)2 = c2 = (2a+ 1)2 2 2 2 a + a + 14a + 49 = 4a + 4a + 1 2 0 = 2a − 10a − 48 / : 2 0 = a2 − 5a− 24 2 Δ = 25 + 96 = 121 = 1 1 5 − 11 5 + 11 a = -------< 0 lub a = -------= 8. 2 2](https://img.zadania.info/zad/5467873/HzadR7x.gif)
Pozostałe boki trójkąta mają więc długości:
i
. Obwód trójkąta jest równy
![a + a + 7 + c = 8 + 15 + 17 = 40.](https://img.zadania.info/zad/5467873/HzadR11x.gif)
Odpowiedź: 40