W trójkącie prostokątnym ABC wysokość BD dzieli przeciwprostokątną... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Oblicz długość..., 6540902

Forum

Prostokątny

Zadanie nr 6540902

W trójkącie prostokątnym $ABC$ wysokość $BD$ dzieli przeciwprostokątną $AC$ na odcinki o długościach $|AD | = 3$ i $|DC | = 24$ .

Oblicz długości boków trójkąta $ABC$ .
Oblicz długość odcinka $AE$ , gdzie $E$ jest punktem wspólnym dwusiecznej kąta $BAC$ i boku $BC$ .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku

Z podobieństwa trójkątów $ADB$ i $BDC$ mamy $AD-- = BD-- BD DC 3 BD ---- = ---- BD 2 24 BD = 3⋅ 24 = 72.$
Mamy zatem
$2 2 2 AB = BD + AD = 72+ 9 = 81 ⇒ AB = 9 √ -- BC 2 = BD 2 + DC 2 = 72 + 5 76 = 648 = 2⋅18 2 ⇒ BC = 18 2.$

Odpowiedź: $√ -- AB = 9 ,BC = 18 2,AC = 27$
Sposób I

Aby wyliczyć długość odcinka $AE$ wystarczy wyliczyć $cos∡BAE = cos ∡A2-$ . Liczymy ze wzoru
$2 cos 2x = 2 cos x − 1 ,$
który dla kąta ostrego $x$ możemy zapisać w postaci
$∘ 1-+-co-s2x- cosx = ---------- . 2$
Mamy zatem
$∘ ------------ ∘ -----9- ∘ -- √ -- ∡A-- 1-+-co-s∡A-- 1-+--27- 2- --6- cos α = cos 2 = 2 = 2 = 3 = 3 .$
Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny $ABE$ .
$AB-- AE = co sα 9 √ 6- ----= ---- AE 3 √ -- √ -- 9 27 2 7 6 9 6 AE = √-6 = √---= ---6-- = -2--. -3- 6$

Sposób II

Tym razem skorzystamy z twierdzenia o dwusiecznej:
$BE AB ----= ---- EC AC ----BE------ -9- 1- 18√ 2− BE = 2 7 = 3 √ -- 3BE = 18 2 − BE √ -- 4BE = 1√8--2 9 2 BE = ----. 2$
Pozostało zastosować twierdzenie Pitagorasa w trójkącie $ABE$ .
$∘ ----------- √ -- ∘ ------------ 81 ⋅2 9√ ------ 9 6 AE = AB 2 + BE 2 = 81+ --4---= 2- 4 + 2 = -2--.$

Odpowiedź: $√ - AE = 9-26$

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!