/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Oblicz długość...

Zadanie nr 6548530

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości: |BC | = 3 i |AC | = 4 . Na boku AB tego trójkąta wybrano taki punkt D , że |∡ACD | = 60∘ . Oblicz długość odcinka CD .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy naturalnie od rysunku.

PIC

Sposób I

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta z sinusem.

2PABC = 2PBCD + 2PACD 3⋅4 = 3⋅ x⋅sin 30∘ + 4⋅ x⋅ sin 60∘ ( ) √ -- 12 = 3x + 2x √ 3-= x 3-+ 2√ 3- = x ⋅ 3-+-4-3- 2 2 2 √ -- √ -- √ -- x = 12 ⋅-√-2-----= 24(4--3-−-3)-= 24(4--3-−-3-)= 32--3-−-2-4. 4 3 + 3 48 − 9 39 13

Sposób II

Tym razem korzystamy z twierdzenia sinusów. Patrzymy na trójkąt ADC .

--x-- ----------4--------- ------4------- sin α = sin(1 80∘ − 60∘ − α) = sin (120∘ − α). x = -------4------ ⋅ 3. sin(1 20∘ − α) 5

Zauważmy teraz, że

sin(120 ∘ − α ) = sin 120 ∘cos α− sin α cos12 0∘ = = sin (180∘ − 60∘) ⋅ 4-− 3-⋅co s(180∘ − 60∘) = 5 5 √ -- 4 3 4 3 + 3 = sin 60∘ ⋅--+ -⋅ cos60 ∘ = --------. 5 5 10

Mamy zatem

√ -- √ -- √ -- -√-4-- 3- -√8-⋅3--- 24(4--3-−-3)- 24(4--3-−-3-) 32--3-−-2-4 x = 4--3+3 ⋅5 = 4 3 + 3 = 48 − 9 = 39 = 13 . 10

 
Odpowiedź: √ - 32--3−-24 13

Wersja PDF