Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9174563

W trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnych długości |BC | = 5 i |AC | = 12 wpisano okrąg. Oblicz długość odcinka łączącego punkty wspólne okręgu wpisanego z bokami AB i AC .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Obliczmy na początek długość przeciwprostokątnej i co s∡BAC .

 ∘ ------------ √ --------- √ ---- AB = AC 2 + BC 2 = 144 + 25 = 1 69 = 13 AC 12 cos∡BAC = ----= ---. AB 13

Sposób I

Długość odcinka PQ obliczymy stosując twierdzenie cosinusów w trójkącie AQP . Aby to zrobić musimy jednak najpierw obliczyć długość odcinka AQ = AP = x . Aby obliczyć długość tego odcinka oznaczmy przez R punkt styczności okręgu wpisanego z bokiem BC i niech CQ = CR = y , BR = BP = z . Mamy wtedy układ równań.

( |{ x + y = 12 y + z = 5 |( x + z = 13.

Odejmując od trzeciego równania drugie (żeby skrócić z ) mamy

x − y = 8.

Dodajemy to do pierwszego równania (żeby skrócić y ) i mamy

2x = 20 ⇒ x = 10.

Pozostało zastosować twierdzenie cosinusów.

P Q 2 = AQ 2 + AP 2 − 2AQ ⋅ AP co s∡A 12 ( 1 2) 200 P Q 2 = 2x2 − 2x2 ⋅---= 2x2 1 − --- = ---- -- 13--- 1 3 13 10√ 2 10√ 2 6 P Q = -√----= -------. 13 13

Sposób II

Tym razem dorysujmy odcinek AS i niech T będzie punktem wspólnym odcinków AS i PQ . Zauważmy, że trójkąty prostokątne AQS i AP S są przystające (bo odcinek AS jest dwusieczną kąta BAC ), więc PQ = 2PT i odcinek PT jest wysokością trójkąta AP S . Aby móc obliczyć długość odcinka P T obliczymy długość promienia r okręgu wpisanego w trójkąt ABC i  1 sin α = sin 2∡A .

Promień okręgu wpisanego r obliczamy ze wzoru P = pr , gdzie p jest połową obwodu trójkąta.

r = P-= 2P- = ---1-2⋅5----= 12-⋅5-= 2. p 2p 12 + 5 + 13 30

Aby obliczyć sinα korzystamy ze wzoru

 2 cos2α = 1− 2sin α.

Mamy zatem

 2 12- 1-- --1-- 2 sin α = 1− cos2α = 1− 13 = 13 ⇒ sinα = √ --- ∘ ------- 26 ∘ -------2-- -1- --5-- cosα = 1 − sin α = 1 − 2 6 = √ ---. 26

Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny AP S .

 r 1 √ --- ----= sin α = √---- ⇒ AS = 2 26 AS 26 AP-- √-5-- √ --- √5--- AS = cosα = 26 ⇒ AP = 2 2 6⋅ 26 = 10 .

Teraz długość odcinka P T obliczamy porównując dwa wzory na pole trójkąta AP S .

SP ⋅AP = 2PAPS = AS ⋅PT √ --- √ --- -20-- 10--26- 2 ⋅10 = 2 2 6⋅P T ⇒ P Q = 2P T = √ 26-= 13 .

 
Odpowiedź: 10√-26- 13

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!