Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Obliczmy na początek długość przeciwprostokątnej i .
Sposób I
Długość odcinka obliczymy stosując twierdzenie cosinusów w trójkącie
. Aby to zrobić musimy jednak najpierw obliczyć długość odcinka
. Aby obliczyć długość tego odcinka oznaczmy przez
punkt styczności okręgu wpisanego z bokiem
i niech
,
. Mamy wtedy układ równań.
Odejmując od trzeciego równania drugie (żeby skrócić ) mamy
Dodajemy to do pierwszego równania (żeby skrócić ) i mamy
Pozostało zastosować twierdzenie cosinusów.
Sposób II
Tym razem dorysujmy odcinek i niech
będzie punktem wspólnym odcinków
i
. Zauważmy, że trójkąty prostokątne
i
są przystające (bo odcinek
jest dwusieczną kąta
), więc
i odcinek
jest wysokością trójkąta
. Aby móc obliczyć długość odcinka
obliczymy długość promienia
okręgu wpisanego w trójkąt
i
.
Promień okręgu wpisanego obliczamy ze wzoru
, gdzie
jest połową obwodu trójkąta.
Aby obliczyć korzystamy ze wzoru
Mamy zatem
Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny .
Teraz długość odcinka obliczamy porównując dwa wzory na pole trójkąta
.
Odpowiedź: