W trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnych długości |BC|=5... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Oblicz długość..., 9174563

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Prostokątny

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Oblicz długość...

Zadanie nr 9174563

W trójkąt prostokątny $ABC$ o przyprostokątnych długości $|BC | = 5$ i $|AC | = 12$ wpisano okrąg. Oblicz długość odcinka łączącego punkty wspólne okręgu wpisanego z bokami $AB$ i $AC$ .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Obliczmy na początek długość przeciwprostokątnej i $co s∡BAC$ .

∘ ------------ √ --------- √ ---- AB = AC 2 + BC 2 = 144 + 25 = 1 69 = 13 AC 12 cos∡BAC = ----= ---. AB 13

Sposób I

Długość odcinka $PQ$ obliczymy stosując twierdzenie cosinusów w trójkącie $AQP$ . Aby to zrobić musimy jednak najpierw obliczyć długość odcinka $AQ = AP = x$ . Aby obliczyć długość tego odcinka oznaczmy przez $R$ punkt styczności okręgu wpisanego z bokiem $BC$ i niech $CQ = CR = y$ , $BR = BP = z$ . Mamy wtedy układ równań.

( |{ x + y = 12 y + z = 5 |( x + z = 13.

Odejmując od trzeciego równania drugie (żeby skrócić $z$ ) mamy

x − y = 8.

Dodajemy to do pierwszego równania (żeby skrócić $y$ ) i mamy

2x = 20 ⇒ x = 10.

Pozostało zastosować twierdzenie cosinusów.

P Q 2 = AQ 2 + AP 2 − 2AQ ⋅ AP co s∡A 12 ( 1 2) 200 P Q 2 = 2x2 − 2x2 ⋅---= 2x2 1 − --- = ---- -- 13--- 1 3 13 10√ 2 10√ 2 6 P Q = -√----= -------. 13 13

Sposób II

Tym razem dorysujmy odcinek $AS$ i niech $T$ będzie punktem wspólnym odcinków $AS$ i $PQ$ . Zauważmy, że trójkąty prostokątne $AQS$ i $AP S$ są przystające (bo odcinek $AS$ jest dwusieczną kąta $BAC$ ), więc $PQ = 2PT$ i odcinek $PT$ jest wysokością trójkąta $AP S$ . Aby móc obliczyć długość odcinka $P T$ obliczymy długość promienia $r$ okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ i $1 sin α = sin 2∡A$ .