Zadanie nr 9174563

W trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnych długości |BC | = 5 i |AC | = 12 wpisano okrąg. Oblicz długość odcinka łączącego punkty wspólne okręgu wpisanego z bokami i .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Obliczmy na początek długość przeciwprostokątnej i co s∡BAC .

∘ ------------ √ --------- √ ---- AB = AC 2 + BC 2 = 144 + 25 = 1 69 = 13 AC 12 cos∡BAC = ----= ---. AB 13

Sposób I

Długość odcinka obliczymy stosując twierdzenie cosinusów w trójkącie AQP . Aby to zrobić musimy jednak najpierw obliczyć długość odcinka AQ = AP = x . Aby obliczyć długość tego odcinka oznaczmy przez punkt styczności okręgu wpisanego z bokiem i niech CQ = CR = y , BR = BP = z . Mamy wtedy układ równań.

( |{ x + y = 12 y + z = 5 |( x + z = 13.

Odejmując od trzeciego równania drugie (żeby skrócić ) mamy

x − y = 8.

Dodajemy to do pierwszego równania (żeby skrócić ) i mamy

2x = 20 ⇒ x = 10.

Pozostało zastosować twierdzenie cosinusów.

P Q 2 = AQ 2 + AP 2 − 2AQ ⋅ AP co s∡A 12 ( 1 2) 200 P Q 2 = 2x2 − 2x2 ⋅---= 2x2 1 − --- = ---- -- 13--- 1 3 13 10√ 2 10√ 2 6 P Q = -√----= -------. 13 13

Sposób II

Tym razem dorysujmy odcinek i niech będzie punktem wspólnym odcinków i . Zauważmy, że trójkąty prostokątne AQS i AP S są przystające (bo odcinek jest dwusieczną kąta BAC ), więc PQ = 2PT i odcinek jest wysokością trójkąta AP S . Aby móc obliczyć długość odcinka P T obliczymy długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt ABC i 1 sin α = sin 2∡A .