Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9237079

W trójkącie prostokątnym dany jest kąt ostry o mierze α i pole P tego trójkąta. Obliczyć długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zauważmy, że w każdym trójkącie prostokątnym długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego to dokładnie połowa przeciwprostokątnej. Aby to zobaczyć dorysujmy sobie okrąg opisany na trójkącie – jego środek to środek przeciwprostokątnej, a promień to połowa jej długości.


PIC


Musimy zatem policzyć długość przeciwprostokątnej.

Sposób I

Plan jest następujący – korzystając z podanego kąta wyliczymy długości przyprostokątnych a i b w zależności od c , a potem z podanego pola wyliczymy c .

a --= sin α ⇒ a = c sin α c b- c = co sα ⇒ b = ccos α.

Zatem

P = 1-ab = 1-c2 sin α cosα 2 2 2 ---2P----- c = sin α cosα ∘ ----------- c = ----2P----. sinα cos α

Szukana długość środkowej to połowa tej wartości.

Sposób II

Tym razem dokładniej przyjrzyjmy się trójkątowi równoramiennemu BEC . Ma on wspólną podstawę z trójkątem ABC a jego wysokość opuszczona na bok BC ma długość równą 12AC . Zatem pole trójkąta BEC jest równe 12P . Ponadto ∡BEC = 2∡BAC = 2α (kąty wpisany i środkowy oparte na tym samym łuku). Mamy zatem równość

1- 1- c- c- 2 P = PBEC = 2 ⋅ 2 ⋅2 ⋅sin2 α (c )2 P -- = ------ 2 ∘ --sin-2α c- ---P-- 2 = sin 2α.

 
Odpowiedź:  ---------- ----- ∘ ----P---- ∘ --P-- 2sinα cosα = sin2α

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!