Zadanie nr 9429829
Dany jest trójkąt prostokątny , w którym
,
i
. Okrąg wpisany w trójkąt
jest styczny do boku
w punkcie
. Oblicz długość odcinka
.
Rozwiązanie
Sposób I
Poprowadźmy wysokość danego trójkąta.

Długość odcinka obliczymy z trójkąta prostokątnego
. Zanim jednak zajmiemy się tym trójkątem, popatrzmy na trójkąt prostokątny
. Ponieważ jest on podobny do wyjściowego trójkąta (bo oba są prostokątne i mają wspólny kąt
), łatwo można wyliczyć długości jego boków.

Skoro znamy długość , to długość odcinka
możemy obliczyć jako różnicę długości
i
. Do tego jednak musimy znać długość
. Długość
to po prostu długość
promienia okręgu wpisanego w trójkąt
, którą możemy obliczyć ze wzoru na pole:
, gdzie
jest połową obwodu trójkąta.

Mamy więc

Pozostało zastosować twierdzenie Pitagorasa w trójkącie .

Sposób II
Długość odcinka możemy obliczyć z twierdzenia cosinusów w trójkącie
. Zanim to jednak zrobimy, musimy wyliczyć
i
.

Aby obliczyć długość odcinka , zaznaczmy pozostałe punkty styczności okręgu wpisanego z bokami trójkąta i oznaczmy
,
i
. Mamy wtedy układ równań.

Odejmując od drugiego równania trzecie (żeby skrócić ) mamy

Dodajemy to do pierwszego równania (żeby skrócić ) mamy

Pozostało zastosować twierdzenie cosinusów.

Odpowiedź: