Zadanie nr 9429829
Dany jest trójkąt prostokątny , w którym
,
i
. Okrąg wpisany w trójkąt
jest styczny do boku
w punkcie
. Oblicz długość odcinka
.
Rozwiązanie
Sposób I
Poprowadźmy wysokość danego trójkąta.
![PIC](https://img.zadania.info/zad/9429829/HzadR1x.gif)
Długość odcinka obliczymy z trójkąta prostokątnego
. Zanim jednak zajmiemy się tym trójkątem, popatrzmy na trójkąt prostokątny
. Ponieważ jest on podobny do wyjściowego trójkąta (bo oba są prostokątne i mają wspólny kąt
), łatwo można wyliczyć długości jego boków.
![BC = 3 0 BP-- BC-- 302- BC = BA ⇒ BP = 50 = 18 P C AC 3 0⋅40 ----= ---- ⇒ PC = -------= 24. BC BA 50](https://img.zadania.info/zad/9429829/HzadR6x.gif)
Skoro znamy długość , to długość odcinka
możemy obliczyć jako różnicę długości
i
. Do tego jednak musimy znać długość
. Długość
to po prostu długość
promienia okręgu wpisanego w trójkąt
, którą możemy obliczyć ze wzoru na pole:
, gdzie
jest połową obwodu trójkąta.
![P- 2P- ----30⋅-40--- r = p = 2p = 3 0+ 40+ 50 = 10 .](https://img.zadania.info/zad/9429829/HzadR17x.gif)
Mamy więc
![BM = BO = BC − OC = 30− 10 = 20 PM = BM − BP = 2 0− 1 8 = 2.](https://img.zadania.info/zad/9429829/HzadR18x.gif)
Pozostało zastosować twierdzenie Pitagorasa w trójkącie .
![∘ ------------ √ -------- √ ---- √ ---- CM = P C2 + PM 2 = 576 + 4 = 580 = 2 14 5.](https://img.zadania.info/zad/9429829/HzadR20x.gif)
Sposób II
Długość odcinka możemy obliczyć z twierdzenia cosinusów w trójkącie
. Zanim to jednak zrobimy, musimy wyliczyć
i
.
![cos ∡A = AC--= 40-= 4. AB 50 5](https://img.zadania.info/zad/9429829/HzadR25x.gif)
Aby obliczyć długość odcinka , zaznaczmy pozostałe punkty styczności okręgu wpisanego z bokami trójkąta i oznaczmy
,
i
. Mamy wtedy układ równań.
![( |{ x + y = 40 | x + z = 50 ( z + y = 30.](https://img.zadania.info/zad/9429829/HzadR30x.gif)
Odejmując od drugiego równania trzecie (żeby skrócić ) mamy
![x − y = 20.](https://img.zadania.info/zad/9429829/HzadR32x.gif)
Dodajemy to do pierwszego równania (żeby skrócić ) mamy
![2x = 60 ⇒ x = 30.](https://img.zadania.info/zad/9429829/HzadR34x.gif)
Pozostało zastosować twierdzenie cosinusów.
![CM 2 = AC 2 + AM 2 − 2AC ⋅AM cos∡A CM 2 = 1600 + 90 0− 2⋅40 ⋅30 ⋅ 4-= 1600 + 90 0− 2 ⋅40 ⋅24 = 580 √ ---- √ ---- 5 CM = 580 = 2 145.](https://img.zadania.info/zad/9429829/HzadR35x.gif)
Odpowiedź: