Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9429829

Dany jest trójkąt prostokątny ABC , w którym BC = 30 , AC = 40 i AB = 50 . Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boku AB w punkcie M . Oblicz długość odcinka CM .


PIC


Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Poprowadźmy wysokość CP danego trójkąta.


PIC

Długość odcinka CM obliczymy z trójkąta prostokątnego CMP . Zanim jednak zajmiemy się tym trójkątem, popatrzmy na trójkąt prostokątny CBP . Ponieważ jest on podobny do wyjściowego trójkąta (bo oba są prostokątne i mają wspólny kąt ∡B ), łatwo można wyliczyć długości jego boków.

BC = 3 0 BP-- BC-- 302- BC = BA ⇒ BP = 50 = 18 P C AC 3 0⋅40 ----= ---- ⇒ PC = -------= 24. BC BA 50

Skoro znamy długość BP , to długość odcinka PM możemy obliczyć jako różnicę długości BM i BP . Do tego jednak musimy znać długość BM = BO = BC − OC . Długość OC to po prostu długość r promienia okręgu wpisanego w trójkąt ABC , którą możemy obliczyć ze wzoru na pole: P = pr , gdzie p jest połową obwodu trójkąta.

 P- 2P- ----30⋅-40--- r = p = 2p = 3 0+ 40+ 50 = 10 .

Mamy więc

BM = BO = BC − OC = 30− 10 = 20 PM = BM − BP = 2 0− 1 8 = 2.

Pozostało zastosować twierdzenie Pitagorasa w trójkącie CMP .

 ∘ ------------ √ -------- √ ---- √ ---- CM = P C2 + PM 2 = 576 + 4 = 580 = 2 14 5.

Sposób II

Długość odcinka CM możemy obliczyć z twierdzenia cosinusów w trójkącie ACM . Zanim to jednak zrobimy, musimy wyliczyć cos∡A i AM .

cos ∡A = AC--= 40-= 4. AB 50 5

Aby obliczyć długość odcinka AM , zaznaczmy pozostałe punkty styczności okręgu wpisanego z bokami trójkąta i oznaczmy AM = AN = x , CN = CO = y i BM = BO = z . Mamy wtedy układ równań.

( |{ x + y = 40 | x + z = 50 ( z + y = 30.

Odejmując od drugiego równania trzecie (żeby skrócić z ) mamy

x − y = 20.

Dodajemy to do pierwszego równania (żeby skrócić y ) mamy

2x = 60 ⇒ x = 30.

Pozostało zastosować twierdzenie cosinusów.

CM 2 = AC 2 + AM 2 − 2AC ⋅AM cos∡A CM 2 = 1600 + 90 0− 2⋅40 ⋅30 ⋅ 4-= 1600 + 90 0− 2 ⋅40 ⋅24 = 580 √ ---- √ ---- 5 CM = 580 = 2 145.

 
Odpowiedź:  √ ---- CM = 2 1 45

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!