Zadanie nr 9599171
Oblicz długości boków trójkąta prostokątnego, którego obwód wynosi 40, a pole 60.
Rozwiązanie
Jeżeli oznaczymy – przyprostokątne, a
– przeciwprostokątna, to mamy układ
![( |{ a+ b+ c = 40 ab = 2 ⋅60 |( 2 2 2 a + b = c .](https://img.zadania.info/zad/9599171/HzadR2x.gif)
Pierwsza równość to warunek z obwodem, druga z polem, a trzecia to twierdzenie Pitagorasa. Przekształcimy teraz pierwszą równość, korzystając z dwóch pozostałych.
![a+ b = 40 − c / ()2 2 2 2 2 a + 2ab+ b = 40 − 80c + c 2 2 2 c + 4⋅60 = 40 − 80c + c 80c = 40 2 − 4 ⋅60 / : 80 c = 20 − 3 = 1 7](https://img.zadania.info/zad/9599171/HzadR3x.gif)
Pierwsze dwa równania układu przyjmują więc postać
![{ a+ b = 23 ab = 120.](https://img.zadania.info/zad/9599171/HzadR4x.gif)
Można ten układ łatwo rozwiązać korzystając ze wzorów Viète’a – liczby są pierwiastkami równania
![x2 − 23x + 1 20 = 0.](https://img.zadania.info/zad/9599171/HzadR6x.gif)
Jeżeli jednak nie chcemy korzystać ze wzorów Viète’a, to podstawiamy z pierwszego równania do drugiego.
![(23 − b)b = 120 2 0 = b − 2 3b+ 120 Δ = 232 − 480 = 49 b = 23-−-7-= 8 ∨ b = 23-+-7-= 15. 2 2](https://img.zadania.info/zad/9599171/HzadR8x.gif)
Mamy wtedy odpowiednio i
.
Odpowiedź: 8,15,17