/Szkoła średnia/Funkcje/Logarytm/Pochodna

Funkcje wykładnicze i logarytmiczne

Funkcje wykładnicze i logarytmiczne są ze sobą bardzo blisko związane i dlatego omówimy je w jednym poradniku. Funkcja wykładnicza Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję postaci y = ax , gdzie a > 0 i a ⁄= 1 . Dziedziną funkcji wykładniczej jest cały zbiór liczb rzeczywistych.


ZINFO-FIGURE


Jeżeli a > 1 to funkcja wykładnicza jest rosnąca i rośnie od 0 do + ∞ . Jeżeli natomiast a < 1 , to funkcja jest malejąca i maleje od + ∞ do 0.

W obu przypadkach wykres funkcji wykładniczej przecina oś Oy w punkcie (0,1) . Funkcja logarytmiczna Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję postaci y = lo gax , gdzie a jest ustaloną liczbą dodatnią i a ⁄= 1 . Dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb dodatnich.


ZINFO-FIGURE


Dla a > 1 funkcja y = loga x jest funkcją rosnącą i rośnie od − ∞ do + ∞ . Dla a < 1 funkcja y = logax jest funkcją malejącą i maleje od + ∞ do − ∞ .

W obu przypadkach wykres funkcji logarytmicznej przecina oś Ox w punkcie (1,0) . Związek funkcji wykładniczej z funkcją logarytmiczną Funkcja logarytmiczna f(x) = loga x jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej g(x ) = ax , tzn.

f(g(x )) = log ax = x , a g(f(x )) =a logax = x.

O funkcji odwrotnej należy myśleć tak: jeżeli traktujemy funkcję g(x ) = 2x jako maszynkę, która zamienia liczbę x na liczbę g(x) , czyli 2 na 4, 4 na 16, 10 na 1024 itd., to funkcja odwrotna f(x) = lo g2x zamienia te liczby w drugą stronę: 4 na 2, 16 na 4, 1024 na 10.

Na wykresie ten związek przejawia się symetrią: wykresy funkcji ax i lo g x a są symetryczne względem prostej y = x .


ZINFO-FIGURE


Jeżeli popatrzymy na wykres logarytmu to widać, że logarytm rośnie/maleje (w zależności od a ) na początku szybko (powiedzmy do x = 1 ), a potem bardzo wolno. Odpowiada to temu, że funkcja wykładnicza rośnie/maleje wolno dla y < 1 i bardzo szybko dla y > 1 .

Powyżej wyświetlona jest tylko pierwsza część poradnika. Druga część jest dostępna tylko dla użytkowników z wykupionym abonamentem.
Nie chcesz się rejestrować ani opłacać abonamentu? Zapłać przelewem 7,90 zł lub telefonicznie 9,90 zł, a otrzymasz dwudziestominutowy dostęp do wszystkich materiałów dostępnych w portalu.
spinner