/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Zadania na ekstremum/Największe pole

Zadanie nr 1483495

Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji 6x2−72x+210 f(x ) = x2−12x+36 określonej dla x ∈ (− ∞ ,6) . Wykres ten przecina osie Ox i Oy odpowiednio w punktach B i D , a punkt A jest początkiem układu współrzędnych. Rozpatrujemy wszystkie czworokąty ABCD , w których punkt C leży na wykresie funkcji y = f(x) pomiędzy punktami B i D .

PIC

Oblicz pierwszą współrzędną wierzchołka C tego z rozpatrywanych czworokątów, którego pole jest największe.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Wyznaczmy najpierw współrzędne punktów B i D .

( 2 10) ( 35 ) D = (0,f(0)) = 0,---- = 0,--- . 36 6

Aby wyznaczyć współrzędne punktu B rozwiązujemy równanie

2 6x − 7 2x+ 210 = 0 / : 6 x 2 − 12x + 35 = 0 Δ = 144 − 14 0 = 4 12 − 2 12 + 2 x = -------= 5 lub x = -------= 7. 2 2

Ze względu na podaną dziedzinę funkcji mamy B = (5 ,0 ) .

Aby obliczyć pole czworokąta ABCD dzielimy go na 2 trójkąty przekątną AC .

PIC

Jeżeli C = (x ,f(x)) , to interesujące nas pole jest równe

PABCD = PABC + PADC = 1-AB ⋅ f(x) + 1-AD ⋅x = 2 2 5 6x 2 − 72x + 210 1 35 x2 − 12x + 35 35 = 2-⋅-x-2 −-12x-+-36- + 2-⋅ 6-x = 15⋅ x2 −-12x-+-36-+ 12x = ( 2 ) = 15 x--−-1-2x+--36 − -------1------ + 35x = x 2 − 1 2x+ 36 x 2 − 12x + 36 12 15 35 = 15− --------------+ --x . x2 − 12x + 3 6 12

Liczymy pochodną tej funkcji.

′ 0-⋅(x2-−-12x-+-3-6)−-1-⋅(2x-−-1-2) 35- f (x) = − 15 ⋅ (x2 − 12x + 36)2 + 12 = = 30 ⋅--(x-−-6-)--+ 35-= ---30---+ 35. ((x − 6 )2)2 12 (x− 6)3 12

Sprawdzamy teraz kiedy pochodna jest równa 0.

30 35 -------3-+ ---= 0 / : 5 (x − 6) 12 ----6---- -7- (x − 6)3 = − 12 (x − 6)3 = − 7-2 ∘ -7- √ ---- √ ---- 3 72 2 3441 2 3 441 x − 6 = − ---= − ------- ⇒ x = 6 − -------. 7 7 7

Zauważmy jeszcze, że funkcja ′ --30-- 35 f (x) = (x− 6)3 + 12 jest malejąca w przedziale (0,6) (bo y = (x − 6 )3 jest rosnąca), więc pochodna w punkcie √ --- x = 6 − 2-3441 7 zmienia znak z dodatniego na ujemny. To oznacza, że w tym punkcie funkcja f (x) ma maksimum i jest to szukana wartość pierwszej współrzędnej wierzchołka C , dla której pole czworokąta ABCD jest największe.  
Odpowiedź: √ --- 6 − 2-3441 7

Wersja PDF