Zadanie nr 2050450
Dane są punkty . Punkt
należy do okręgu o równaniu
. Znajdź współrzędne punktu
tak, aby pole trójkąta
było największe. Oblicz to pole.
Rozwiązanie
Zacznijmy od szkicowego rysunku.
Korzystając ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty i
:
![(y− yA)(xB − xA) − (yB − yA )(x − xA ) = 0](https://img.zadania.info/zad/2050450/HzadR3x.gif)
wyznaczamy równanie prostej
![(y − 5) ⋅5 + 10(x + 2) = 0 / : 5 y − 5 + 2x + 4 = 0 y = − 2x + 1](https://img.zadania.info/zad/2050450/HzadR5x.gif)
Ponieważ bok szukanego trójkąta jest ustalony i ma długość
![∘ --------- √ ---- √ -- AB = 52 + 102 = 12 5 = 5 5,](https://img.zadania.info/zad/2050450/HzadR7x.gif)
więc musimy znaleźć na okręgu punkt, którego odległość od prostej jest największa. Powinno być jasne, że taki punkt otrzymamy przecinając okrąg z prostą
prostopadłą do
i przechodzącą przez środek okręgu (mówiąc inaczej, szukamy punktów, w których styczna do okręgu jest równoległa do
).
Ponieważ prosta ma być prostopadła do
, musi to być prosta postaci
. Współczynnik
wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu
.
![1 0 = --⋅(− 2) + b ⇒ b = 1. 2](https://img.zadania.info/zad/2050450/HzadR17x.gif)
Szukamy teraz punktów wspólnych prostej z danym okręgiem (wstawiamy do równania okręgu).
![( )2 (x + 2)2 + 1x + 1 = 2 5 2 1 (x + 2)2 + --(x+ 2)2 = 25 4 5-(x+ 2)2 = 25 4 (x + 2)2 = 2 0 √ -- x = − 2± 2 5.](https://img.zadania.info/zad/2050450/HzadR19x.gif)
Daje to nam dwa punkty i
Widać z obrazka, że interesujący nas punkt to
, ale jeżeli nie zrobiliśmy obrazka, lub nie jest on zbyt dokładny, to możemy sprawdzić, który z nich jest dalej od prostej
ze wzoru na odległość punktu od prostej.
![√ -- √ -- √ -- |−---5-−√-4-−-4--5-−-1|- 5-√5-+-5- √ -- d (E,AB ) = 4 + 1 = 5 = 5 + 5 √ -- √ -- √ -- -- d (F,AB ) = |-5-−-4√-+-4--5-−-1-|= 5-√5-−-5-= 5− √ 5. 4 + 1 5](https://img.zadania.info/zad/2050450/HzadR24x.gif)
Bierzemy zatem i pole jest równe
![√ -- √ -- √ -- P = 1AB ⋅d(E ,AB ) = 1⋅ 5 5⋅ 5-√5+--5-= 25--5+--25. 2 2 5 2](https://img.zadania.info/zad/2050450/HzadR26x.gif)
Odpowiedź: ,