Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2050450

Dane są punkty A (−2 ,5),B(3,− 5) . Punkt C należy do okręgu o równaniu (x + 2)2 + y2 = 2 5 . Znajdź współrzędne punktu C tak, aby pole trójkąta ABC było największe. Oblicz to pole.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zacznijmy od szkicowego rysunku.


PIC


Korzystając ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A = (xA ,yA ) i B = (xB ,yB) :

(y− yA)(xB − xA) − (yB − yA )(x − xA ) = 0

wyznaczamy równanie prostej AB

(y − 5) ⋅5 + 10(x + 2) = 0 / : 5 y − 5 + 2x + 4 = 0 y = − 2x + 1

Ponieważ bok AB szukanego trójkąta jest ustalony i ma długość

 ∘ --------- √ ---- √ -- AB = 52 + 102 = 12 5 = 5 5,

więc musimy znaleźć na okręgu punkt, którego odległość od prostej AB jest największa. Powinno być jasne, że taki punkt otrzymamy przecinając okrąg z prostą k prostopadłą do AB i przechodzącą przez środek okręgu (mówiąc inaczej, szukamy punktów, w których styczna do okręgu jest równoległa do AB ).

Ponieważ prosta k ma być prostopadła do AB , musi to być prosta postaci y = 1x + b 2 . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu S = (− 2,0) .

 1 0 = --⋅(− 2) + b ⇒ b = 1. 2

Szukamy teraz punktów wspólnych prostej y = 1x + 1 2 z danym okręgiem (wstawiamy do równania okręgu).

 ( )2 (x + 2)2 + 1x + 1 = 2 5 2 1 (x + 2)2 + --(x+ 2)2 = 25 4 5-(x+ 2)2 = 25 4 (x + 2)2 = 2 0 √ -- x = − 2± 2 5.

Daje to nam dwa punkty  √ -- √ -- E = (− 2 − 2 5,− 5) i  √ --√ -- F = (− 2+ 2 5, 5) Widać z obrazka, że interesujący nas punkt to E , ale jeżeli nie zrobiliśmy obrazka, lub nie jest on zbyt dokładny, to możemy sprawdzić, który z nich jest dalej od prostej AB : y+ 2x− 1 = 0 ze wzoru na odległość punktu od prostej.

 √ -- √ -- √ -- |−---5-−√-4-−-4--5-−-1|- 5-√5-+-5- √ -- d (E,AB ) = 4 + 1 = 5 = 5 + 5 √ -- √ -- √ -- -- d (F,AB ) = |-5-−-4√-+-4--5-−-1-|= 5-√5-−-5-= 5− √ 5. 4 + 1 5

Bierzemy zatem C = E i pole jest równe

 √ -- √ -- √ -- P = 1AB ⋅d(E ,AB ) = 1⋅ 5 5⋅ 5-√5+--5-= 25--5+--25. 2 2 5 2

 
Odpowiedź:  √ -- √ -- C = (− 2− 2 5,− 5) ,  25√5+-25 P = 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!