/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Zadania na ekstremum/Największe pole

Zadanie nr 3303166

Dwa wierzchołki prostokąta leżą na osi x , a pozostałe dwa należą do paraboli o równaniu f(x) = 4− x 2 i znajdują się powyżej osi x .

  • Podaj wzór funkcji opisującej pole tego prostokąta w zależności od jego podstawy.
  • Dla jakiej długości podstawy pole tego prostokąta jest równe 6.
  • Dla jakiej długości podstawy pole tego prostokąta jest największe?
Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku.

PIC

  • Jeżeli przez x oznaczymy długość podstawy, to wierzchołki na osi x mają współrzędne (− x,0) 2 i (x,0) 2 , gdzie x ∈ (0,4) . Stąd wyliczamy współrzędne wierzchołków na paraboli (tak naprawdę potrzebny nam jest tylko jeden z nich):
    ( 2 ) ( 2) x- x-- x- x-- − 2,4 − 4 , 2,4 − 4 .

    Liczymy pole

    ( ) x2- 1- 2 P (x) = x ⋅ 4− 4 = 4 x(16 − x ).

     
    Odpowiedź: 14x(16 − x2)

  • Rozwiązujemy równanie
    1 -x(16 − x2) = 6 4 3 16x − x = 24 3 x − 16x + 24 = 0.

    Szukamy pierwiastków całkowitych tego równania wśród dzielników wyrazu wolnego. Sprawdzając znajdujemy pierwiastek x = 2 . Dzielimy teraz ten wielomian przez (x − 2) . My zrobimy to grupując wyrazy.

    x3 − 16x + 24 = x3 − 2x2 + 2x2 − 16x + 2 4 = 2 2 = x (x − 2) + 2x − 4x − 12x + 24 = = x2(x − 2) + 2x (x− 2)− 12(x − 2) = = (x − 2)(x2 + 2x − 1 2).

    Rozwiązujemy równanie kwadratowe Δ = 4+ 48 = 4 ⋅13 . Stąd dodatni pierwiastek to √ --- x = − 1+ 13 .

    Zauważmy, że oba znalezione pierwiastki spełniają nierówność x ∈ (0,4) .  
    Odpowiedź: 2 lub √ --- − 1 + 13

  • Szukamy punktu, w którym funkcja f(x ) = x(16 − x2) przyjmuje wartość największą w przedziale (0,4) . Liczymy pochodną funkcji f(x) .
    ( ) ( √ --) ( √ --) ′ 2 2 16- 4--3- 4--3- f (x) = 16 − 3x = − 3 x − 3 = − 3 x − 3 x+ 3 .

    Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół. Widzimy zatem, że pochodna jest dodatnia na przedziale √- (0, 433) (czyli funkcja f rośnie) i ujemna na przedziale √ - 4--3 ( 3 ,4) (czyli funkcja f maleje). Wartość największa jest zatem osiągana dla √ - x = 4-3- 3 .  
    Odpowiedź: 4√3- 3

Wersja PDF