Zadanie nr 3724416
Dana jest parabola opisana równaniem . Tworzymy trójkąty
takie, że punkt
leży w początku układu współrzędnych, punkt
o współrzędnych
leży na paraboli, punkt
ma współrzędne
.
- Napisz wzór funkcji
, określającej pole trójkąta
w zależności od
dla
.
- Znajdź trójkąt o największym polu dla
; w odpowiedzi podaj współrzędne punktu
.
Rozwiązanie
Zaczynamy od szkicowego rysunku.
- Z obrazka widać, że otrzymany trójkąt jest prostokątny i jego przyprostokątne mają długości
i
(tutaj jest ważne, że
). Zatem wzór na pole jest następujący
Odpowiedź: - Aby znaleźć ekstrema na podanym przedziale liczymy pochodną
Drugi z tych punktów jest poza podanym przedziałem, a funkcja
rośnie na przedziale
(pochodna dodatnia) oraz maleje na przedziale
(pochodna ujemna). Zatem wartość największa na
to
.
Odpowiedź: