Zadanie nr 3724416

Dana jest parabola opisana równaniem 2 y = (x − 3) + 1 . Tworzymy trójkąty ABC takie, że punkt leży w początku układu współrzędnych, punkt o współrzędnych (xb ,yb ) leży na paraboli, punkt ma współrzędne (xb,0) .

Napisz wzór funkcji , określającej pole trójkąta w zależności od dla .
Znajdź trójkąt o największym polu dla ; w odpowiedzi podaj współrzędne punktu .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

Z obrazka widać, że otrzymany trójkąt jest prostokątny i jego przyprostokątne mają długości i (tutaj jest ważne, że ). Zatem wzór na pole jest następujący
$1 1 1 1 P (xb) = --xbyb = -xb[(xb− 3 )2+ 1] = --xb[x2b− 6xb + 10 ] = -x3b − 3x2b+ 5xb. 2 2 2 2$

Odpowiedź:
Aby znaleźć ekstrema na podanym przedziale liczymy pochodną
$′ 3- 2 P (xb) = 2 xb − 6xb + 5 Δ = 36− 30 = 6 √ -- √ -- 6-−---6- 6-+---6- xb = 3 ∨ xb = 3 .$

Drugi z tych punktów jest poza podanym przedziałem, a funkcja rośnie na przedziale (pochodna dodatnia) oraz maleje na przedziale (pochodna ujemna). Zatem wartość największa na to .
Odpowiedź: