/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Zadania na ekstremum/Największe pole

Zadanie nr 5154135

Na przedziale [− 1,7] określono dwie funkcje: √ ------- f(x ) = 2x + 2 i √ --------- g (x) = − 18x + 1 8 . Rozpatrujemy wszystkie trapezy ABCD , których wierzchołki A i D leżą na wykresie funkcji f , a wierzchołki B i C leżą na wykresie funkcji g . Podstawy rozpatrywanych trapezów są równoległe do osi Oy (zobacz rysunek).

PIC

Oblicz współrzędne wierzchołków tego z rozpatrywanych trapezów, w którym |CD | > |AB | , i który ma największe możliwe pole. Oblicz to największe pole. Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że jeżeli pierwsza współrzędna wierzchołka C trapezu ABCD jest równa 7, a druga współrzędna wierzchołka A jest równa y , to pole trapezu wyraża się wzorem

P(y ) = −y 3 − 4y2 + 16y + 64.
Wersja PDF

Rozwiązanie

Ponieważ funkcja y = f(x ) jest rosnąca, a funkcja y = g(x ) jest malejąca, podstawa CD ma największą długość jeżeli pierwsza współrzędna punktów C i D jest równa 7. Ponadto, dla każdego innego wyboru cięciwy CD wysokość trapezu też będzie mniejsza, niż w przypadku, gdy cięciwa CD leży na prostej x = 7 . To oznacza, że jeżeli szukamy trapezu o największym polu, to możemy założyć, że

D = (7,f (7)) = (7,4) C = (7,g (7)) = (7,− 12).

Jeżeli teraz, tak jak proponuje nam treść zadania, oznaczymy drugą współrzędną punktu A przez y , to wiemy, że pole trapezu ABCD jest równe

3 2 P(y ) = −y − 4y + 16y + 64.

Dziedziną tej funkcji jest przedział (0,4) . Liczymy jej pochodną.

′ 2 P (y) = − 3y − 8y + 16 .

Szukamy miejsc zerowych pochodnej.

2 − 3y − 8y + 16 = 0 / ⋅(− 1) 3y 2 + 8y− 16 = 0 2 Δ = 64 + 19 2 = 256 = 16 − 8 − 16 y 1 = ---------= −4 < − 1, 6 y 2 = −-8-+-16-= 8-= 4. 6 6 3

Mamy zatem

( 4) P′(y) = − 3 (y+ 4) x − -- 3

i widzimy, że pochodna jest dodatnia w przedziale ( ) 0, 43 i ujemna w przedziale (4 ) 3 ,4 . To oznacza, że funkcja P rośnie w przedziale ( 4 ] 0,3 i maleje w przedziale [ 4 ) 3,4 . Największe pole trzymamy więc dla 4 y = 3 . Maksymalne pole trapezu jest więc równe

( ) 4- 3 2 64- 1-6 4- P 3 = −y − 4y + 16y + 6 4 = − 27 − 4 ⋅ 9 + 16⋅ 3 + 64 = − 6 4− 1 92+ 576 + 1728 204 8 = -------------------------= -----. 27 27

Obliczamy współrzędne punktów A i B . Wiemy, że y = 43 jest drugą współrzędną punktu A – obliczmy jego pierwszą współrzędną.

√ ------- y = 2x + 2 /2 y2 = 2x + 2.

Stąd

( ) ( ) 1-( 2 ) 1- 16- 1- 2- 1- x = 2 y − 2 = 2 9 − 2 = 2 ⋅ − 9 = − 9.

Punkt B ma oczywiście taką samą pierwszą współrzędną jak punkt A , a jego druga współrzędna jest równa

∘ ----------- ∘ -------- yB = g(xA ) = − 18xA + 18 = − 3 2xA + 2 = − 3yA = 4- = − 3 ⋅3 = − 4.

Mamy więc

( ) ( ) 1- 4- 1- A = − 9 ,3 , B = − 9 ,− 4 .

 
Odpowiedź: ( ) 1 4 A = − 9,3 , ( ) 1 B = − 9,− 4 , C = (7,4) , D = (7,− 12) , Pmax = 2048 27 .

Wersja PDF