Zadanie nr 7805060

Dane są punkty A = (1,3),B = (−4 ,−2 ) . Wyznacz taki punkt C = (x ,y) , gdzie x ∈ (−1 ,2) leżący na paraboli o równaniu y = x2 , aby pole trójkąta ABC było największe.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

Szukamy punktu postaci C = (x ,x2) .

Sposób I

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach A = (xA,yA ) , B = (xB,yB ) i C = (xC ,yC) .

1 PABC = --|(xB − xA)(yC − yA) − (yB − yA )(xC − xA )|. 2

W naszym przypadku mamy

1 5 PABC = -|− 5 (x2 − 3)+ 5(x− 1)| = -| − x2 + x + 2| 2 2

Ustalmy jaki jest znak wyrażenia pod wartością bezwzględną.

− x2 + x+ 2 = 0 Δ = 1+ 8 = 9 −1 − 3 − 1 + 3 x = -------= 2, x = ------- = − 1. −2 − 2

Zatem na przedziale (− 1,2) wyrażenie to jest dodatnie i mamy

1 PABC = --(−x 2 + x + 2). 2

Otrzymana parabola przyjmuje największą wartość w wierzchołku, czyli dla

b 1 x = − ---= --. 2a 2

Otrzymujemy wtedy ( ) 1 1 C = 2,4 .

Sposób II

Ponieważ punkty i są ustalone, pole trójkąta ABC będzie największe, gdy odległość punktu od prostej będzie największa. Napiszmy równanie prostej . Szukamy prostej w postaci y = ax + b . Podstawiając współrzędne punktów i otrzymujemy układ równań

{ 3 = a + b − 2 = − 4a + b

Odejmując od pierwszego równania drugie otrzymujemy

5 = 5a ⇒ a = 1. b = 3− a = 2.

Zatem prosta ma równanie y− x− 2 = 0 . Korzystamy teraz ze wzoru na odległość punktu od prostej, aby obliczyć odległość punktu od prostej (czyli długość wysokości trójkąta ABC opuszczonej na bok ).