Zadanie nr 7945833
Rozpatrujemy wszystkie prostokąty , których dwa wierzchołki
i
leżą na odcinku o końcach
i
, a dwa pozostałe wierzchołki
i
leżą na paraboli o równaniu
(zobacz rysunek).
Oblicz obwód tego z rozpatrywanych prostokątów, którego pole jest największe.
Rozwiązanie
Jeżeli oznaczymy to
,
. Stąd
![AB = 4 − 2t 1-2 AD = 2t− 2t .](https://img.zadania.info/zad/7945833/HzadR3x.gif)
Pole prostokąta jest więc równe
![( ) P(t) = (4 − 2t)⋅ 2t − 1-t2 = (2 − t)(4t− t2) = t3 − 6t2 + 8t. 2](https://img.zadania.info/zad/7945833/HzadR4x.gif)
Dziedziną tej funkcji jest przedział . Liczymy jej pochodną.
![′ 2 P (t) = 3t − 12t + 8.](https://img.zadania.info/zad/7945833/HzadR6x.gif)
Rozkładamy otrzymany trójmian.
![√ -- 2 Δ = 144 − 96√ =- 48 = (4√ 3-) √ -- √ -- 12− 4 3 2 3 1 2+ 4 3 2 3 t1 = ----------= 2 − ----, t2 = ---------- = 2 + -----. 6 3 6 3](https://img.zadania.info/zad/7945833/HzadR7x.gif)
To oznacza, że na przedziale pochodna jest dodatnia, a na przedziale
pochodna jest ujemna. To z kolei oznacza, że funkcja
rośnie na przedziale
i maleje na przedziale
. Największe pole otrzymamy więc dla
. Mamy wtedy
![( ) ( √ -) 2 1-2 1- 2 1- 2--3- AB + AD = (4− 2t)+ 2t − 2 t = 4 − 2 t = 4− 2 2− 3 = ( √ -- ) ( √ -- ) √ -- 1 8 3 1 2 1 8 3 4 4 4 3 = 4− -- 4− -----+ --- = 4 − -- 4− -----+ -- = --+ ----. 2 3 9 2 3 3 3 3](https://img.zadania.info/zad/7945833/HzadR14x.gif)
Obwód prostokąta jest dwa razy większy
![8- √ -- 2(AB + AD ) = 3(1 + 3).](https://img.zadania.info/zad/7945833/HzadR15x.gif)
Odpowiedź: