Zadanie nr 8457009

Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji 9x−45 f (x) = x−6 określonej dla x ∈ (− ∞ ,6) . Wykres ten przecina osie i odpowiednio w punktach i , a punkt jest początkiem układu współrzędnych. Rozpatrujemy wszystkie czworokąty ABCD , w których punkt leży na wykresie funkcji y = f(x) pomiędzy punktami i .

Oblicz współrzędne wierzchołka tego z rozpatrywanych czworokątów, którego pole jest największe.

Rozwiązanie

Wyznaczmy najpierw współrzędne punktów i .

( 45 ) ( 15) D = (0,f (0)) = 0,--- = 0, --- . 6 2

Aby wyznaczyć współrzędne punktu rozwiązujemy równanie

9x − 45 = 0 ⇐ ⇒ x = 5 .

Zatem B = (5,0) .

Aby obliczyć pole czworokąta ABCD dzielimy go na 2 trójkąty przekątną .

Jeżeli C = (x ,f(x)) , to interesujące nas pole jest równe

PABCD = PABC + PADC = 1AB ⋅f(x) + 1-AD ⋅x = 2 2 5- 9x-−--45 1- 15- 45- x-−-5- 15- = 2 ⋅ x− 6 + 2 ⋅ 2 x = 2 ⋅ x − 6 + 4 x = 45 ( x − 6 1 ) 15 = --- ------+ ------ + --x = 2 x − 6 x − 6 4 45 45 1 15 = ---+ ---⋅------+ --x. 2 2 x − 6 4

Liczymy pochodną tej funkcji.

( ) ′ 45 0 ⋅(x− 6)− 1⋅ 1 15 15 6 f (x) = 2--⋅----(x-−-6)2-----+ 4--= 4--⋅ − (x-−-6)2-+ 1 .

Sprawdzamy teraz kiedy pochodna jest równa 0.

---6-----= 1 (x− 6)2 2 (x − 6) = √6-- √ -- x− 6 = − 6 lub x − 6 = 6 √ -- √ -- x = 6 − 6 lub x = 6 + 6 .

Drugie rozwiązanie nie należy do dziedziny (0,5) interesującej nas funkcji. Zauważmy jeszcze, że funkcja ′ 15 ( --6--- ) f (x ) = 4 ⋅ − (x−6)2 + 1 jest malejąca w przedziale (0 ,5) (bo y = − (x− 6)2 jest rosnąca na tym przedziale), więc pochodna w punkcie √ -- x = 6− 6 zmienia znak z dodatniego na ujemny. To oznacza, że w tym punkcie funkcja f(x ) ma maksimum i jest to wartość pierwszej współrzędnej szukanego wierzchołka , dla której pole czworokąta ABCD jest największe. Obliczmy jeszcze drugą współrzędną