Zadanie nr 8983865

Parabola o równaniu 1 2 y = 2 − 2 x przecina oś układu współrzędnych w punktach A = (− 2,0 ) i B = (2,0) . Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD , których dłuższą podstawą jest odcinek , a końce i krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).

Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka . Oblicz współrzędne wierzchołka tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy ( t2) C = t,2 − 2 , to |CD | = 2t , |AB | = 4 i wysokość trapezu jest równa

t2 h = 2− 2 .

Pole trapezu jest więc równe

( ) 4+-2t- t2 4−--t2- 1- 2 3 P(t) = 2 ⋅ 2 − 2 = (2 + t)⋅ 2 = 2(8 + 4t − 2t − t ).

Dziedziną tej funkcji jest przedział (0,2) . Liczymy jej pochodną.

1 1 P′(t) = --(4− 4t− 3t2) = − --(3t2 + 4t− 4). 2 2

Rozkładamy trójmian w nawiasie.

Δ = 16 + 48 = 6 4 t = −-4-−-8 = − 2, t = −-4-+-8 = 2. 1 6 2 6 3

Zatem

( ) P′(t) = − 3(t + 2) t− 2- . 2 3

To oznacza, że na przedziale ( ) 0, 23 pochodna jest dodatnia, a na przedziale (2,2) 3 pochodna jest ujemna. To oznacza, że funkcja P (t) rośnie na przedziale ( 2⟩ 0,3 i maleje na przedziale ⟨2 ) 3,2 . Największe pole otrzymamy więc dla t = 23 . Wierzchołek ma wtedy współrzędne