Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9319984

Dane są punkty A (1,0),B(− 1,1) . Punkt C należy do okręgu o równaniu x 2 + y2 = 1 . Znajdź współrzędne punktu C tak, aby pole trójkąta ABC było największe. Oblicz to pole.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zacznijmy od szkicowego rysunku.


PIC


Korzystając ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A = (xA ,yA ) i B = (xB ,yB) :

(y− yA)(xB − xA) − (yB − yA )(x − xA ) = 0

wyznaczamy równanie prostej AB

y (− 1− 1)− 1 (x− 1) = 0 ⇒ 2y + x − 1 = 0.

Ponieważ bok AB szukanego trójkąta jest ustalony i ma długość

 ∘ ----------- 2 2 √ -- AB = (− 2 ) + 1 = 5,

więc musimy znaleźć na okręgu punkty, którego odległość od prostej AB jest największa. Powinno być jasne, że taki punkt otrzymamy przecinając okrąg z prostą k prostopadłą do AB i przechodzącą przez środek okręgu (mówiąc inaczej, szukamy punktów, w których styczna do okręgu jest równoległa do AB ).

Ponieważ prosta k ma być prostopadła do AB i przechodzić przez (0,0) , więc ma równanie y = 2x . Szukamy teraz jej punktów wspólnych z okręgiem (wstawiamy do równania okręgu).

 2 2 x + (2x ) = 1 2 1- -1-- x = 5 ⇒ x = ± √ 5.

Daje to nam dwa punkty  ( √- √- ) E = − -5, −2-5- 5 5 i  (√ - √-) F = --5, 2-5 5 5 Widać z obrazka, że interesujący nas punkt to E , ale jeżeli nie zrobiliśmy obrazka, lub nie jest on zbyt dokładny, to możemy sprawdzić, który z nich jest dalej od prostej AB ze wzoru na odległość punktu od prostej.

 √ - √ - -- |− 4-5-− --5− 1| √ 5 + 1 d(E,AB ) = -----5√-----5------= --√----- √- 4√ + 1 5 |4-5-+ --5− 1| √ -- d(F,AB ) = --5-√---5------= --5√-−-1-. 4+ 1 5

Bierzemy zatem C = E i pole jest równe

 √ -- √ -- 1- 1- √ -- --5+--1- --5-+-1- P = 2AB ⋅d (E,AB ) = 2 ⋅ 5⋅ √ 5 = 2

 
Odpowiedź:  ( - -) √-5 −-2√5 C = − 5 , 5 ,  - √5+-1 P = 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!