Zadanie nr 9319984

Dane są punkty A (1,0),B(− 1,1) . Punkt należy do okręgu o równaniu x 2 + y2 = 1 . Znajdź współrzędne punktu tak, aby pole trójkąta ABC było największe. Oblicz to pole.

Rozwiązanie

Zacznijmy od szkicowego rysunku.

Korzystając ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A = (xA ,yA ) i B = (xB ,yB) :

(y− yA)(xB − xA) − (yB − yA )(x − xA ) = 0

wyznaczamy równanie prostej

y (− 1− 1)− 1 (x− 1) = 0 ⇒ 2y + x − 1 = 0.

Ponieważ bok szukanego trójkąta jest ustalony i ma długość

∘ ----------- 2 2 √ -- AB = (− 2 ) + 1 = 5,

więc musimy znaleźć na okręgu punkty, którego odległość od prostej jest największa. Powinno być jasne, że taki punkt otrzymamy przecinając okrąg z prostą prostopadłą do i przechodzącą przez środek okręgu (mówiąc inaczej, szukamy punktów, w których styczna do okręgu jest równoległa do ).

Ponieważ prosta ma być prostopadła do i przechodzić przez (0,0) , więc ma równanie y = 2x . Szukamy teraz jej punktów wspólnych z okręgiem (wstawiamy do równania okręgu).

2 2 x + (2x ) = 1 2 1- -1-- x = 5 ⇒ x = ± √ 5.

Daje to nam dwa punkty ( √- √- ) E = − -5, −2-5- 5 5 i (√ - √-) F = --5, 2-5 5 5 Widać z obrazka, że interesujący nas punkt to , ale jeżeli nie zrobiliśmy obrazka, lub nie jest on zbyt dokładny, to możemy sprawdzić, który z nich jest dalej od prostej ze wzoru na odległość punktu od prostej.