Zadanie nr 2951398

Rozpatrujemy wszystkie trapezy ABCD , których wierzchołki i leżą na wykresie funkcji f (x) = − 23 ⋅x12 − 1 określonej dla x ⁄= 0 . Punkt ma współrzędne (1,1) , a oś jest osią symetrii tego trapezu (zobacz rysunek).

Oblicz obwód tego trapezu ABCD , którego pole jest najmniejsze możliwe.

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy ( -2- ) B = x,− 3x2 − 1 dla x > 0 , to ( 2-- ) A = −x ,− 3x2 − 1 i D = (− 1,1) . Pole trapezu ABCD jest więc równe

( ) AB--+-CD-- 2x-+-2- -2-- P(x ) = 2 ⋅h = 2 ⋅ 1 + 3x 2 + 1 = ( ) = (x+ 1)⋅ 2 + --2- = 2x + 2 + -2-+ -2--. 3x 2 3x 3x2

Liczymy pochodną tej funkcji

′ -2-- -4-- 6x-3 −-2x−--4 2- 3x3-−-x-−-2- P (x) = 2− 3x2 − 3x 3 = 3x3 = 3 ⋅ x 3 .

Widać teraz, że jednym z pierwiastków licznika jest x = 1 . Dzielimy więc wielomian w liczniku przez (x − 1) . My zrobimy to grupując wyrazy

3x3 − x − 2 = (3x3 − 3x2)+ (3x2 − 3x) + (2x − 2) = = 3x2(x − 1) + 3x(x − 1) + 2(x − 1 ) = (x− 1)(3x2 + 3x + 2).

Łatwo sprawdzić, że wyrażenie w drugim nawiasie jest zawsze dodatnie (bo Δ < 0 ), więc pochodna ′ P (x) jest ujemna w przedziale (0,1) i dodatnia w przedziale (1 ,+∞ ) . W takim razie funkcja P (x) maleje w przedziale (0,1⟩ i rośnie w przedziale ⟨1,+ ∞ ) . Najmniejsze pole trapezu otrzymamy więc dla x = 1 . Mamy wtedy