Zadanie nr 4449666

Dana jest funkcja 2 f(x ) = x − 1 określona dla x ∈ (− ∞ ,0) . W jakim punkcie wykresu tej funkcji należy poprowadzić styczną tak, aby trójkąt ograniczony tą styczną i osiami układu współrzędnych miał najmniejsze pole? Oblicz to pole.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Niech P = (a ,a2 − 1 ) będzie punktem danej paraboli, gdzie

a ∈ (− ∞ ,0)

Liczymy pochodną danej funkcji kwadratowej.

f′(x) = 2x

Styczna do paraboli w punkcie ma więc równanie

y = 2a ⋅(x − a) + (a2 − 1) = 2ax − a 2 − 1.

Wyznaczmy teraz punkty wspólne tej prostej z osiami układu współrzędnych. Punkt wspólny z osią to 2 A = (0,−a − 1) . Ponadto,

a2 + 1 0 = 2ax − a 2 − 1 ⇐ ⇒ x = ------ , 2a

więc punkt przecięcia stycznej z osią to

( a2 + 1 ) B = ------,0 2a

Pole trójkąta prostokątnego AOB jest równe

|| 2 || | | 2 PAOB = 1-|a--+-1| ⋅||−a 2 − 1 || = − 1⋅ a-+-1 ⋅(a2 + 1) = 2 | 2a | 2 2a 1 a 4 + 2a 2 + 1 1 ( 1) = − --⋅------------ = − -- a 3 + 2a + -- . 4 a 4 a

Przypomnijmy, że dziedziną tej funkcji jest przedział (− ∞ ,0) . Liczymy pochodną.

( ) 4 2 P′(a) = − 1- 3a2 + 2 − -1- = − 1-⋅ 3a-+--2a-−--1- 4 a2 4 a2

W liczniku mamy równanie dwukwadratowe – podstawiamy t = a2 .

3t2 + 2t− 1 = 0 2 Δ = 4+ 12 = 16 = 4 − 2 − 4 − 2+ 4 1 t = ---6--- = − 1 lub t = ---6--- = 3-

Pochodna funkcji jest więc równa

2 ( 2 1) 2 ( √-3) ( √-3) ′ 3 (a + 1) a − 3 3 (a + 1 ) a − 3 a + 3 P (a) = − 4-⋅--------a2-------- = − 4-⋅ ------------a-2-------------.

Widać teraz, że pochodna jest ujemna w przedziale ( √3-) − ∞ ,− 3 i dodatnia w przedziale ( √-3 ) − 3 ,0 . To oznacza, że funkcja jest malejąca w przedziale ( √ -⟩ --3 0,− 3 i rosnąca w przedziale ⟨ √ - ) --3 − 3 ,0 . To oznacza, że najmniejszą wartość pola trójkąta AOB otrzymamy dla √ - a = − --3 3 . Mamy wtedy