Zadanie nr 5143133

Rozważamy trójkąty ABC , w których A = (0,0), B = (m ,0) , gdzie m ∈ (4,+ ∞ ) , a wierzchołek leży na prostej o równaniu y = − 2x . Na boku tego trójkąta leży punkt D = (3,2) .

Wykaż, że dla pole trójkąta , jako funkcja zmiennej , wyraża się wzorem
$2 P (m ) = -m---- m − 4$
Oblicz tę wartość , dla której funkcja osiąga wartość najmniejszą. Wyznacz równanie prostej , przy której funkcja osiąga tę najmniejszą wartość.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Spróbujmy wyznaczyć współrzędne punktu . W tym celu piszemy równanie prostej . Szukamy prostej w postaci y = ax+ b i podstawiamy współrzędne punktów i .

{ 0 = am + b 2 = 3a + b .

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

− 2 = (m − 3)a ⇒ a = -−-2-- m − 3

(mianownik nie jest zerem, bo z założenia m > 4 ). Stąd

b = −am = − -−-2--⋅m = -2m--- m − 3 m − 3

i prosta ma równanie

2 2m y = − ------⋅ x+ ------. m − 3 m − 3

Szukamy teraz jej punktu wspólnego z prostą y = − 2x . Podstawiamy do powyższego wzoru.

− --2--- ⋅x+ -2m--- = − 2x m − 3 m − 3 2m ( 2 ) 8 − 2m ------ = ------ − 2 x = ------- ⋅x m − 3 m − 3 m − 3 --2m--- --m--- x = 8 − 2m = 4 − m .

Stąd

y = − 2x = − 2⋅ --m---= -2m--- 4− m m − 4

( ) C = --m---,-2m--- 4− m m − 4

Teraz łatwo już obliczyć pole trójkąta – jego wysokość opuszczona na bok to po prostu druga współrzędna punktu , więc
$2 1- 1- -2m--- -m---- PABC = 2AB ⋅h = 2 ⋅m ⋅ m − 4 = m − 4.$
Liczymy pochodną funkcji .
$2 2 P ′(m) = 2m-⋅(m--−-4)−--m--⋅1-= m--−--8m- = m-(m-−--8). (m − 4)2 (m − 4)2 (m − 4 )2$

Widać teraz, że pochodna jest ujemna w przedziale i dodatnia w przedziale . W takim razie funkcja jest malejąca w przedziale i rosnąca w przedziale . Najmniejszą wartość pola otrzymamy więc dla . Prosta ma wtedy równanie

$2 2m 2 16 y = − ------⋅x + ------= − -x + --. m − 3 m − 3 5 5$

Odpowiedź: ,