Zadanie nr 7072986
W układzie współrzędnych dane są punkty i
. Na wykresie funkcji
znajdź taki punkt
, dla którego pole trójkąta
jest najmniejsze.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Sposób I
Zauważmy, że ponieważ podstawa trójkąta
jest ustalona, jego pole zależy tylko i wyłącznie od długości wysokości opuszczonej z wierzchołka
. Z kolei ta wysokość to odległość punktu
od prostej
. Musimy zatem znaleźć na danym wykresie punkt
, dla którego odległość od prostej
jest najmniejsza.
Rozpoczynamy od napisania równania prostej . Podstawiamy do równania prostej postaci
współrzędne punktów
i
.
![{ − 1 = − 3a + b 6 = 4a + b.](https://img.zadania.info/zad/7072986/HzadR12x.gif)
Odejmując od drugiego równania pierwsze mamy , czyli
. Stąd
i prosta
ma równanie
. Aby nie mieć pierwiastków zapiszmy dany wzór funkcji w postaci
![√ -- y = 3 x − 1 √ -- 2 y + 1 = 3 x / () y2 + 2y + 1 = 9x.](https://img.zadania.info/zad/7072986/HzadR18x.gif)
Oczywiście powyższe przekształcenie ma sens przy założeniu, że i
.
Korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej
:
![|Ax-0-+-By-0 +-C|- √ --2----2- , A + B](https://img.zadania.info/zad/7072986/HzadR23x.gif)
wiemy, że odległość punktu od prostej
jest równa
![y2+ 2y+ 1 2 |---9---−--y+--2| |y--−-7y-+-19| d = √ 1+ 1 = 9√ 2 .](https://img.zadania.info/zad/7072986/HzadR26x.gif)
Zauważmy, że trójmian pod wartością bezwzględną jest zawsze dodatni (bo ), więc pozostało znaleźć najmniejszą wartość funkcji
![1 2 f (y) = -√---(y − 7y+ 19). 9 2](https://img.zadania.info/zad/7072986/HzadR28x.gif)
Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę, więc najmniejszą wartość otrzymamy w wierzchołku, czyli dla . Wtedy
![y2-+-2y-+-1- 494-+-7-+-1- 841- 9- x = 9 = 9 = 9 = 4.](https://img.zadania.info/zad/7072986/HzadR30x.gif)
Sposób II
Tym razem obliczamy pole trójkąta korzystając ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach
,
i
.
![PABC = 1-|(xB − xA)(yC − yA) − (yB − yA )(xC − xA )|. 2](https://img.zadania.info/zad/7072986/HzadR35x.gif)
W naszej sytuacji i mamy
![1 √ -- 7 √ -- PABC = -|(4 + 3)(3 x − 1 + 1) − (6 + 1)(x + 3 )| = -|3 x − x − 3|. 2 2](https://img.zadania.info/zad/7072986/HzadR37x.gif)
Aby pozbyć się pierwiastka podstawmy . Mamy wtedy oczywiście
oraz
![P = 7|3t− t2 − 3| = 7|t2 − 3t + 3|. ABC 2 2](https://img.zadania.info/zad/7072986/HzadR40x.gif)
Zauważmy teraz, że trójmian pod wartością bezwzględną jest zawsze dodatni (bo ), więc
![P = 7|3t− t2 − 3| = 7-(t2 − 3t + 3). ABC 2 2](https://img.zadania.info/zad/7072986/HzadR42x.gif)
Wykresem otrzymanej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę, więc najmniejszą wartość pola otrzymamy w wierzchołku, czyli dla
![3 t = 2.](https://img.zadania.info/zad/7072986/HzadR43x.gif)
Mamy wtedy i
![√ -- 3- 7- y = 3 x− 1 = 3 ⋅2 − 1 = 2.](https://img.zadania.info/zad/7072986/HzadR45x.gif)
Zatem .
Odpowiedź: