/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Zadania na ekstremum/Najmniejsze pole

Zadanie nr 8874516

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty ABC , których wierzchołki A i B leżą na wykresie funkcji f określonej wzorem f (x) = x94 dla x ⁄= 0 . Punkt C ma współrzędne ( ) 1 0,− 3 , a punkty A i B , są położone symetrycznie względem osi Oy (zobacz rysunek). Oblicz współrzędne wierzchołków A i B , dla których pole trójkąta ABC jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.


PIC


Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli  ( -9) A = x,x4 dla x ≥ 0 , to  ( -9) B = −x ,x4 i odcinek AB ma długość

xA − xB = 2x.

Wysokość trójkąta ABC opuszczona na ten odcinek to

 9-- 1- hc = yA − yC = x4 + 3,

więc pole trójkąta ABC jest równe

 ( ) P (x) = 1⋅ AB ⋅h = 1-⋅2x ⋅ 9--+ 1- = 9--+ 1-x, 2 c 2 x4 3 x3 3

dla x > 0 . Musimy teraz wyznaczyć najmniejszą wartość tej funkcji, więc liczymy jej pochodną.

 ′ 2 7 1 x4 − 81 (x 2 − 9 )(x2 + 9) (x − 3 )(x + 3)(x2 + 9) P (x) = − --4 + --= ---4----= ---------4------- = ------------4----------. x 3 x x x

Widać teraz, że pochodna jest ujemna w przedziale (0 ,3 ) i dodatnia w przedziale (3 ,+∞ ) . To oznacza, że funkcja y = P (x) jest malejąca w przedziale (0 ,3⟩ i rosnąca w przedziale ⟨3 ,+∞ ) . W takim razie najmniejszą wartość pola otrzymamy dla x = 3 . Mamy wtedy

 ( ) ( ) ( ) -9- -9- 1- A = x,x4 = 3,8 1 = 3,9 ( ) ( ) ( ) B = −x ,-9- = − 3,-9- = − 3 , 1 x4 81 9 9 1 1 4 P (3) = ---+ -⋅ 3 = --+ 1 = -. 27 3 3 3

 
Odpowiedź:  ( 1) ( 1) 4 A = 3 ,9 , B = − 3, 9 ,Pmin = 3

Wersja PDF
spinner