Zadanie nr 8874516
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty , których wierzchołki i leżą na wykresie funkcji określonej wzorem dla . Punkt ma współrzędne , a punkty i , są położone symetrycznie względem osi (zobacz rysunek). Oblicz współrzędne wierzchołków i , dla których pole trójkąta jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.
Rozwiązanie
Jeżeli dla , to i odcinek ma długość
Wysokość trójkąta opuszczona na ten odcinek to
więc pole trójkąta jest równe
dla . Musimy teraz wyznaczyć najmniejszą wartość tej funkcji, więc liczymy jej pochodną.
Widać teraz, że pochodna jest ujemna w przedziale i dodatnia w przedziale . To oznacza, że funkcja jest malejąca w przedziale i rosnąca w przedziale . W takim razie najmniejszą wartość pola otrzymamy dla . Mamy wtedy
Odpowiedź: