/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Zadania na ekstremum/Najmniejsza długość

Zadanie nr 1379843

Na prostej o równaniu y = −x wyznacz współrzędne punktu P leżącego najbliżej punktu K = (5;2) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Niech P = (x ,−x ) będzie dowolnym punktem prostej y = −x . Liczymy teraz kwadrat odległości KP .

2 2 2 2 2 KP = (x− 5) + (−x − 2 ) = x − 10x + 25 + x + 4x + 4 = 2x2 − 6x + 29.

Musimy zatem wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji f (x) = 2x2 − 6x + 29 . Ponieważ jest to parabola o ramionach skierowanych w górę, przyjmuje ona wartość najmniejszą w wierzchołku, czyli dla x = 6 = 3 4 2 . Wtedy 3 y = −x = − 2 . Zatem ( 3 3) P = 2,− 2

Na koniec możemy sobie naszkicować całą sytuację.

PIC

 
Odpowiedź: ( ) P = 32,− 32

Wersja PDF