/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Zadania na ekstremum/Najmniejsza długość

Zadanie nr 1766250

Na prostej o równaniu x− y− 4 = 0 znajdź punkt P , którego kwadrat odległości od punktu A(1,1 ) jest najmniejszy.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Niech P = (x ,y) . Ponieważ punkt ten leży na prostej x − y − 4 = 0 , więc x = y+ 4 . Liczymy teraz kwadrat odległości AP .

2 2 2 2 2 2 2 AP = (x − 1) + (y − 1) = (y + 4 − 1) + (y − 1) = (y + 3 ) + (y − 1) = y2 + 6y + 9 + y 2 − 2y + 1 = 2y2 + 4y + 10.

Musimy zatem wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji f (y) = 2y2 + 4y + 10 . Ponieważ jest to parabola o ramionach skierowanych w górę, przyjmuje ona wartość najmniejszą w wierzchołku, czyli dla y = −4-= −1 4 . Wtedy x = 3 .

Na koniec możemy sobie naszkicować całą sytuację.

PIC

 
Odpowiedź: P = (3,− 1)

Wersja PDF