Zadanie nr 1988192
Na paraboli o równaniu wyznacz punkt, którego odległość od prostej
jest najmniejsza.
Rozwiązanie
Zacznijmy od szkicowego rysunku. Parabola ma wierzchołek w punkcie o pierwszej współrzędnej równej
i drugiej współrzędnej
.
Punkty paraboli mają postać
. Korzystając ze wzoru na odległość punktu
od prostej
:
![|Ax-0 +-By-0 +-C| √ --2----2- A + B](https://img.zadania.info/zad/1988192/HzadR8x.gif)
liczymy odległość punktu od danej prostej
.
![|2x + x2 − 4x+ 3+ 5| |x2 − 2x + 8| d(A ,k) = -------√--------------= -----√-------. 4 + 1 5](https://img.zadania.info/zad/1988192/HzadR11x.gif)
Zauważmy, że trójmian pod wartością bezwzględną jest zawsze dodatni (bo ), więc możemy opuścić wartość bezwzględną bez zmiany znaku.
![x2-−-2x-+-8- d(A ,k) = √ -- . 5](https://img.zadania.info/zad/1988192/HzadR13x.gif)
Wyrażenie to przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku paraboli, która jest w liczniku, czyli dla
![−b xw = ----= 1. 2a](https://img.zadania.info/zad/1988192/HzadR14x.gif)
Wtedy . Szukanym punktem jest więc punkt o współrzędnych
.
Odpowiedź: