Rozpatrujemy prostokąty ABCD, których dwa wierzchołki leżą na... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Najmniejsza długość, 2775700

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Zadania na ekstremum/Najmniejsza długość

Zadanie nr 2775700

Rozpatrujemy prostokąty $ABCD$ , których dwa wierzchołki leżą na osi $Oy$ , jeden wierzchołek leży na paraboli określonej równaniem $y = 94x2 + 1$ , jeden wierzchołek leży na wykresie funkcji $√ -- f(x ) = x$ określonej dla $x ≥ 0$ . Oblicz pole tego z tych prostokątów, który ma najmniejszy możliwy obwód.

Rozwiązanie

Jeżeli przyjmiemy, że $√ -- B = (x, x )$ , to $√ -- A = (0 , x)$ , $( 9 2 ) C = x,4x + 1$ , $( ) D = 0 , 94x2 + 1$ i obwód prostokąta $ABCD$ jest równy

( ) ( ) 2AB + 2BC = 2x + 2 9-x2 + 1− √x-- = 2 9-x2 + x − √x--+ 1 . 4 4

Musimy teraz wyznaczyć wartość najmniejszą funkcji w nawiasie. Aby uniknąć problemów rachunkowych z pierwiastkiem podstawiamy $√ -- t = x$ i badamy funkcję

g(t) = 9t4 + t2 − t+ 1 4

Liczymy pochodną

g′(t) = 9t3 + 2t− 1.

Szukamy teraz miejsc zerowych pochodnej. Dzielniki wyrazu wolnego, czyli $± 1$ niestety nie są pierwiastkami, więc sprawdzamy ułamki $± 1 3$ i $± 1 9$ . Gdy to zrobimy okaże się, że jednym z pierwiastków pochodnej jest $1 t = 3$ . Dzielimy teraz $′ g (t)$ przez $3t − 1$ . My zrobimy to grupując wyrazy.

3 3 2 2 9t + 2t− 1 = (9t − 3t) + (3t − t)+ (3t− 1) = = 3t2(3t− 1)+ t(3t − 1) + (3t− 1) = (3t2 + t+ 1)(3t − 1).

Sprawdzamy teraz, że trójmian w nawiasie jest stale dodatni (bo $Δ < 0$ ), więc $t = 13$ jest jedynym miejscem zerowym pochodnej i pochodna $g′$ zmienia w tym punkcie znak z ujemnego na dodatni. To oznacza, że funkcja $g$ ma w tym punkcie minimum i najmniejszy obwód otrzymamy dla $t = 1 3$ , czyli dla $1 x = 9$ . Pole prostokąta jest wtedy równe