Zadanie nr 2775700

Rozpatrujemy prostokąty ABCD , których dwa wierzchołki leżą na osi , jeden wierzchołek leży na paraboli określonej równaniem y = 94x2 + 1 , jeden wierzchołek leży na wykresie funkcji √ -- f(x ) = x określonej dla x ≥ 0 . Oblicz pole tego z tych prostokątów, który ma najmniejszy możliwy obwód.

Rozwiązanie

Jeżeli przyjmiemy, że √ -- B = (x, x ) , to √ -- A = (0 , x) , ( 9 2 ) C = x,4x + 1 , ( ) D = 0 , 94x2 + 1 i obwód prostokąta ABCD jest równy

( ) ( ) 2AB + 2BC = 2x + 2 9-x2 + 1− √x-- = 2 9-x2 + x − √x--+ 1 . 4 4

Musimy teraz wyznaczyć wartość najmniejszą funkcji w nawiasie. Aby uniknąć problemów rachunkowych z pierwiastkiem podstawiamy √ -- t = x i badamy funkcję

g(t) = 9t4 + t2 − t+ 1 4

Liczymy pochodną

g′(t) = 9t3 + 2t− 1.

Szukamy teraz miejsc zerowych pochodnej. Dzielniki wyrazu wolnego, czyli ± 1 niestety nie są pierwiastkami, więc sprawdzamy ułamki ± 1 3 i ± 1 9 . Gdy to zrobimy okaże się, że jednym z pierwiastków pochodnej jest 1 t = 3 . Dzielimy teraz ′ g (t) przez 3t − 1 . My zrobimy to grupując wyrazy.

3 3 2 2 9t + 2t− 1 = (9t − 3t) + (3t − t)+ (3t− 1) = = 3t2(3t− 1)+ t(3t − 1) + (3t− 1) = (3t2 + t+ 1)(3t − 1).

Sprawdzamy teraz, że trójmian w nawiasie jest stale dodatni (bo Δ < 0 ), więc t = 13 jest jedynym miejscem zerowym pochodnej i pochodna zmienia w tym punkcie znak z ujemnego na dodatni. To oznacza, że funkcja ma w tym punkcie minimum i najmniejszy obwód otrzymamy dla t = 1 3 , czyli dla 1 x = 9 . Pole prostokąta jest wtedy równe