Zadanie nr 4395608

Na paraboli o równaniu 2 y = x + 6x + 5 znajdź współrzędne punktu , którego odległość od prostej o równaniu y = 2x − 1 3 jest najmniejsza.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od szkicowego rysunku i niech A = (x ,y) będzie szukanym punktem.

Korzystając ze wzoru na odległość punktu P = (x 0,y 0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax-0√-+-By-0 +-C|- A 2 + B 2 ,

wiemy, że odległość punktu od podanej prostej 2x − y − 13 = 0 jest równa

|2x − y − 13| |2x − y− 13| d = ---√--------- = -----√-------. 4 + 1 5

Fajnie byłoby opuścić wartość bezwzględną – aby to zrobić musimy wiedzieć jaki jest znak wyrażenia 2x − y − 13 . Z rysunku widzimy, że punkty na paraboli są powyżej danej prostej, tzn. dla takich punktów y > 2x − 13 , zatem 2x − y − 1 3 < 0 . Opuszczamy więc wartość bezwzględną ze znakiem minus i uwzględniamy równość 2 y = x + 6x + 5 .