Zadanie nr 4478089

Wyznacz te punkty paraboli 2 y = x − 4x + 5 , które znajdują się najbliżej punktu ( ) A = 2 , 52 . Oblicz tę najmniejszą odległość.

Rozwiązanie

Dana parabola

2 2 y = x − 4x + 5 = (x − 2 ) + 1

to parabola o ramionach skierowanych w górę i wierzchołku w punkcie (2,1) . Szkicujemy tę sytuację.

Jeżeli B = (x ,x2 − 4x+ 5) jest dowolnym punktem paraboli, to

( )2 ( ) 2 2 2 2 5- 2 2 5- AB = (x − 2) + x − 4x + 5 − 2 = x − 4x+ 4+ x − 4x + 2 = 25 = x 2 − 4x + 4 + x 4 + 1 6x2 +--− 8x 3 + 5x 2 − 20x = 4 4 3 2 41- = x − 8x + 2 2x − 24x + 4 .

Po drodze skorzystaliśmy ze wzoru skróconego mnożenia

2 2 2 2 (a + b + c) = a + b + c + 2ab+ 2bc+ 2ca,

ale oczywiście nie było to konieczne – mogliśmy po prostu wymnożyć dwa nawiasy. Musimy teraz zbadać otrzymaną funkcję – liczymy jej pochodną

f′(x) = 4x 3 − 2 4x2 + 44x − 24 = 4(x3 − 6x2 + 11x − 6).

Łatwo zauważyć, że jednym z miejsc zerowych pochodnej jest x = 1 , więc dzielimy wielomian w nawiasie przez x − 1 . My zrobimy to grupując wyrazy.

3 2 3 2 2 x − 6x + 11x − 6 = (x − x )− (5x − 5x) + (6x − 6) = = x2(x − 1)− 5x(x − 1) + 6(x − 1 ) = (x2 − 5x + 6)(x − 1).

Rozkładamy jeszcze trójmian w nawiasie.

Δ = 25 − 24 = 1 5-−-1- 5-+-1- x = 2 = 2 lub x = 2 = 3.

W takim razie

f ′(x ) = 4(x − 1)(x − 2)(x − 3)

i pochodna w punktach x = 1 i x = 3 zmienia znak z ujemnego na dodatni, a w punkcie x = 2 zmienia znak z dodatniego na ujemny. W takim razie w punktach x = 1 i x = 3 funkcja ma minima lokalne i dla jednej z tych wartości (lub dla obu) otrzymamy najkrótszą długość odcinka . Liczymy