/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Zadania na ekstremum/Najmniejsza długość

Zadanie nr 6603145

Na wykresie funkcji  1 4 3 2 y = 4x − x − 5x + 22x + 50 znajdź współrzędne punktu A , którego odległość od prostej o równaniu y = −2x − 22 jest najmniejsza.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Ze względu na skomplikowany wzór danego wielomianu trudno oczywiście zrobić dokładny rysunek, więc rysujemy schematycznie o co może chodzić w zadaniu. Niech

 ( ) A = (x,y ) = x , 1x 4 − x 3 − 5x 2 + 2 2x+ 50 4

będzie szukanym punktem.


PIC


Korzystamy ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax-0√-+-By-0 +-C|- A 2 + B 2 .

Odległość punktu A od podanej prostej y+ 2x + 22 = 0 jest więc

równa

 |y + 2x + 22| |1x 4 − x 3 − 5x 2 + 2 2x+ 50 + 2x + 22| d = ---√---------= -4----------------√------------------- = 1+ 4 5 |1x4 − x3 − 5x2 + 24x + 72 | = -4----------√--------------. 5

Aby ustalić jaka jest najmniejsza możliwa wartość tego wyrażenia musimy zbadać funkcję, która znajduje się pod wartością bezwzględną.

 1 4 3 2 f (x) = --x − x − 5x + 24x + 72 ′ 43 2 f (x) = x − 3x − 10x + 2 4.

Aby rozłożyć otrzymany wielomian stopnia 3 szukamy jego pierwiastków całkowitych. Sprawdzając dzielniki wyrazu wolnego można znaleźć pierwiastek x = 2 . Dzielimy teraz f′(x) przez (x − 2) , my zrobimy to grupując wyrazy.

x3 − 3x2 − 10x + 24 = (x3 − 2x2) − (x2 − 2x) − (12x − 2 4) 2 2 = x (x − 2) − x(x − 2 )− 1 2(x− 2) = (x − 2)(x − x − 12 ).

Rozkładamy jeszcze trójmian w nawiasie.

x2 − x − 12 = 0 Δ = 1+ 48 = 49 1− 7 1+ 7 x = -----= − 3 ∨ x = ------= 4. 2 2

Pochodna jest więc równa

f′(x) = (x + 3)(x − 2)(x − 4 ).

Widzimy teraz, że pochodna jest dodatnia w przedziałach (− 3,2) i (4,+ ∞ ,) , oraz ujemna w przedziałach (− ∞ ,− 3) i (2,4) .


PIC


To oznacza, że funkcja f rośnie w pierwszych dwóch przedziałach i maleje w dwóch kolejnych. W szczególności w punktach x = − 3 i x = 4 funkcja f ma minima lokalne i w jednym z tych punktów przyjmuje najmniejszą swoją wartość. Aby ustalić w którym, liczymy f(− 3) i f (4) .

 1 81 81− 72 9 f(− 3) = -⋅ 81+ 27− 45 − 72 + 72 = ---− 18 = --------= -- 4 4 4 4 f(4) = 1⋅ 256− 64 − 80 + 96 + 72 = 88. 4

Widzimy zatem, że funkcja f przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie i jej najmniejszą wartość otrzymujemy dla x = − 3 . To oznacza, że interesująca nas odległość punktu A od danej prostej

 1 4 3 2 1 4 3 2 d = |4-x-−--x-−--5√x-+--24x-+-72| = 4x--−-x--−-5√x--+-24x-+--72- 5 5

jest najmniejsza, gdy pierwsza współrzędna punktu A jest równa x = − 3 . Obliczamy jeszcze drugą współrzędną punktu A .

y = 81-+ 2 7− 4 5− 66+ 50 = 81-− 34 = 81-−-1-36 = − 5-5. 4 4 4 4

Zatem  ( ) A = − 3,− 55 4 .

Na koniec (dla ciekawskich) dokładny rysunek całej sytuacji – z daleka i w powiększeniu.


PIC


 
Odpowiedź:  ( ) A = − 3,− 554

Wersja PDF
spinner