Zadanie nr 8383920

W parku krajobrazowym znajduje się zbiornik wodny, którego dwa brzegi postanowiono połączyć pomostem. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej zbiornika w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y ) za pomocą fragmentów wykresów funkcji oraz , które odpowiadają przeciwległym brzegom zbiornika (zobacz rysunek).

Funkcje oraz są określone wzorami ( )2 f(x ) = 12 x− 32 − 3 oraz g (x) = 1 (x− 1)2 + 1 4 . Jeden z końców pomostu postanowiono zlokalizować na brzegu opisanym funkcją w punkcie o współrzędnych P = (3,2) . Koniec pomostu należy umieścić na brzegu opisanym funkcją . Oblicz współrzędne punktu , w którym należy zlokalizować koniec pomostu, aby jego długość (tj. odległość końca pomostu od początku ) była możliwie najmniejsza. Oblicz długość najkrótszego pomostu.

Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu leżącego na wykresie funkcji od punktu wyraża się wzorem

∘ -------------------------------- 1 3 5 45 1537 |PR | = 4x 4 − 2x3 − 8-x2 + -8 x + -64--,

gdzie jest pierwszą współrzędną punktu .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli R = (x,f (x)) jest dowolnym punktem wykresu funkcji , to z treści zadania wiemy, że

∘ -------------------------------- 1- 4 3-3 5- 2 45- 1537- |PR | = 4x − 2x − 8 x + 8 x + 64 ,

więc wystarczy znaleźć najmniejszą możliwą wartość funkcji

h(x) = 1x 4 − 3-x3 − 5x 2 + 45x + 1537. 4 2 8 8 64

Zanim jednak to zrobimy, zastanówmy się jaka jest dziedzina funkcji . Aby to zrobić sprawdźmy w jakich punktach przecinają się wykresy funkcji i . Rozwiązujemy równanie

1 ( 3) 2 1 2 -- x− -- − 3 = --(x − 1) + 1 / ⋅ 4 2 ( 2 ) 4 2 9- 2 2 x − 3x + 4 − 12 = x − 2x + 1+ 4 x2 − 4x− 25-= 0 2 Δ = 1 6+ 5 0 = 66 √ --- √ --- x = 4-−---66- lub x = 4-+---66-. 2 2

Dziedzina funkcji zawiera się więc w przedziale

[ √ --- √ ---] 4−---6-6-4-+---66- 2 , 2 .

To czy otrzymany zbiór jest dokładnie dziedziną funkcji zależy od tego jak zinterpretujemy treść zadania – czy pomost może częściowo przechodzić nad ziemią. Ale jak zobaczymy w dalszej części rozwiązania ta wątpliwość nie wpływa na odpowiedź – najkrótszą długość pomostu otrzymamy w sytuacji, w której pomost w całości znajduje się nad wodą. W tym momencie wystarczy więc nam informacja, że dziedzina zawiera się w powyższym przedziale i na tym przedziale wyznaczymy najmniejszą wartość funkcji .

Liczymy teraz pochodną funkcji .

( ) ( ) ′ 3 9- 2 5- 45- 2 9- 5- 9- h(x ) = x − 2x − 4x + 8 = x x − 2 − 4 x − 2 = ( ) ( ) ( ) ( √ --) ( √ --) 9- 2 5- 9- --5- --5- = x− 2 x − 4 = x − 2 x − 2 x + 2 .

Niestety wszystkie trzy miejsca zerowe pochodnej znajdują się w dziedzinie funkcji . Pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni w punktach √- x1 = − -52- i x 3 = 92 . W punkcie √- x = 25- zmienia znak z dodatniego na ujemny. To oznacza, że funkcja jest malejąca w przedziale

[ √ --- √ -] 4 − 66 5 ----2----,− -2-- ,

potem rośnie w przedziale

[ √ --√ --] --5---5- − 2 , 2 ,

potem maleje w przedziale

[ √ -- ] --5, 9 , 2 2

i znowu rośnie na prawo od 9 2 . To oznacza, że najmniejszą wartość funkcji otrzymamy w jednym z minimów lokalnych: albo dla √- x = x 1 = − -52- albo dla x = x = 9 3 2 . Możemy teraz obliczyć wartość funkcji w każdym z tych punktów i sprawdzić, dla którego otrzymamy mniejszą długość. Zamiast tego, możemy też zauważyć, że dla x < 0 odległość punktu od każdego z punktów wykresu funkcji jest większa niż 3 (bo jeżeli x < 0 , to odcinek łączący punkt z dowolnym punktem wykresu funkcji musi przeciąć oś ).