Zadanie nr 8817125

Dane są punkty A = (− 1,3) i B = (3 ,6) . Funkcja przyporządkowuje dowolnemu punktowi należącemu do odcinka jego odległość od punktu P = (1,1) . Wyznacz zbiór wartości tej funkcji i jej wartość najmniejszą.

Rozwiązanie

Sposób I

Na początku musimy jakoś opisać punkty odcinka (mądrzej mówiąc, sparametryzujemy odcinek ). Napiszmy równanie prostej . Szukamy prostej w postaci y = ax + b . Podstawiając współrzędne punktów i otrzymujemy układ

{ 3 = −a + b 6 = 3a+ b

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić ) i mamy

4a = 3 ⇒ a = 3. 4

Zatem 15 b = 3 + a = 4- i prosta ma równanie 3 15 y = 4x + -4 . Zauważmy teraz, że punkt otrzymamy podstawiając x = − 1 , a punkt podstawiając x = 3 , więc dowolny punkt odcinka ma postać ( ) 3 15- C = x,4x + 4 , gdzie x ∈ ⟨−1 ,3⟩ .

Obliczmy teraz odległość .

∘ ----------(--------------)2- ∘ -----------(---------)-2 2 3- 15- 2 3- 11- CP = (x− 1) + 4 x+ 4 − 1 = (x− 1) + 4x + 4 = ∘ --------------------------------- ∘ ------------------- 2 9-- 2 33- 1-21 25- 2 17- 1-37 = x − 2x+ 1+ 16x + 8 x + 16 = 16x + 8 x + 16 = 1 ∘ ------------------ = -- 25x 2 + 3 4x+ 137. 4

Ponieważ pierwiastek √ -- x jest funkcją rosnącą, wystarczy badać funkcję pod pierwiastkiem, a na koniec policzyć pierwiastki z otrzymanych wartości. Funkcja 2 f(x) = 25x + 34x + 137 dla x ∈ ⟨− 1,3⟩ jest fragmentem paraboli o ramionach skierowanych do góry. Sprawdźmy gdzie jest jej wierzchołek.

xw = −b--= − 34-= − 17. 2a 50 25 −-Δ- 11-56−--13700- 3425-−-28-9 3-136 yw = 4a = − 100 = 25 = 25 .

Ponieważ xw ∈ ⟨− 1,3⟩ , dokładnie w tym punkcie funkcja f(x) przyjmuje wartość najmniejszą. Pamiętając o wyciągnięciu pierwiastka i podzieleniu przez 4, wartość najmniejsza wyjściowej funkcji będzie równa 14 5 .

Aby ustalić jaki jest zbiór wartości, liczymy wartości na końcach przedziału.

∘ ------- √ -------------- √ ---- √ -- f (−1 ) = 1- 2 5− 3 4+ 137 = 1- 128 = 8 ----- 4 4 ∘ 1√ ---------------- 1√ ---- √ --- √ -- f (3) = 4 2 25+ 102 + 137 = 4 464 = 29 > 8.

Zatem zbiór wartości to przedział

⟨ ⟩ 14-√ --- 5 , 29 .

Sposób II

Zauważmy, że każdy punkt odcinka jest postaci

→ C = A + t⋅AB ,

gdzie t ∈ ⟨0,1⟩ (ten zapis oznacza przesunięcie punktu o wektor → t⋅AB ). Np. dla t = 0 mamy punkt , dla t = 1 punkt , a dla t = 1 2 środek odcinka . Rozpiszmy dokładniej tę równość

C = (− 1,3)+ t[2,3] = (− 1,3) + [4t,3t] = (4t− 1 ,3t+ 3).

Inny sposób otrzymania takiej parametryzacji odcinka to obserwajca, że

C = (1− t)A + tB dla t ∈ ⟨0,1⟩.

Tak jest, bo ten wzór jest równaniem prostej przechodzącej przez punkty (dla t = 0 ) i (dla t = 1 ). Dla pośrednich wartości otrzymujemy punkty odcinka . (Tak naprawdę wyprowadziliśmy tzw. parametryczne równanie prostej).

Dobrze, skoro wiemy jak wyglądają punkty odcinka , to możemy policzyć odległość .

∘ --------------------------------- ∘ ----------------------- CP = (1 − (4t− 1))2 + (1 − (3t + 3))2 = (2− 4t)2 + (− 3t − 2)2 = ∘ ------------------------------ ∘ ------------- = 4− 16t+ 16t2 + 9t2 + 12t + 4 = 25t2 − 4t+ 8 .

Ponieważ pierwiastek √ -- x jest funkcją rosnącą, wystarczy badać funkcję pod pierwiastkiem, a na koniec policzyć pierwiastki z otrzymanych wartości. Funkcja f(t) = 25t2 − 4t+ 8 dla t ∈ ⟨0,1⟩ jest fragmentem paraboli o ramionach skierowanych do góry. Sprawdźmy gdzie jest jej wierzchołek.

−b 4 2 xw = ----= --- = ---. 2a 5 0 2 5 −-Δ- 16-−-800- 4−--200- 196- yw = 4a = − 1 00 = − 2 5 = 2 5 .

Ponieważ xw ∈ ⟨0,1⟩ , dokładnie w tym punkcie funkcja f(t) przyjmuje wartość najmniejszą. Pamiętając o wyciągnięciu pierwiastka, wartość najmniejsza wyjściowej funkcji będzie równa 14 5 .