Zadanie nr 7161386

Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) za pomocą fragmentów wykresów funkcji oraz (zobacz rysunek).

Funkcje oraz są określone wzorami f(x) = − 12(x− 1)2 + 72 oraz g (x ) = 1 (x− 5)2 − 25 4 2 16 . Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt P = (4,− 1) . Koniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej. Oblicz współrzędne punktu , w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru (tj. odległość końca toru od początku ) była możliwie największa. Oblicz długość najdłuższego toru.

Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu leżącego na wykresie funkcji od punktu wyraża się wzorem

∘ --------------------- 1 |P R| = -x 4 − x 3 − 2x 2 + 3 2, 4

gdzie jest pierwszą współrzędną punktu .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Niech Q = (xw,yw ) będzie tym punktem wspólnym danych wykresów, który leży po drugiej stronie akwenu niż punkt (czyli tym, który leży w drugiej ćwiartce układu współrzędnych).

Zauważmy najpierw, że jeżeli S = (xS ,yS) jest jakimkolwiek punktem wykresu funkcji leżącym na brzegu akwenu, to

(4 − xS )2 ≤ (4− xQ)2 i (1+ yS)2 ≤ (1+ yQ)2

(niezależnie od tego, po której stronie wierzchołka paraboli jest punkt ). Zatem

------------------------ ∘ 2 2 ∘ ---------2-------------2 |SP | = (4 − xS ) + (− 1 − yS ) ≤ (4− xQ ) + (− 1 − yQ ) = |QP |,

co oznacza, że interesującego nas punktu musimy szukać na tej części linii brzegowej, która pochodzi od funkcji .

Jeżeli R = (x ,f(x)) jest dowolnym punktem tego wykresu, to z treści zadania wiemy, że

∘ --------------------- 1 |P R| = -x 4 − x 3 − 2x 2 + 3 2, 4

więc wystarczy znaleźć największą możliwą wartość funkcji

1-4 3 2 h(x) = 4x − x − 2x + 32 .

Zanim jednak to zrobimy, zastanówmy się jaka jest dziedzina funkcji . Aby to zrobić sprawdźmy w jakich punktach przecinają się wykresy funkcji

f (x) = − 1-(x− 1)2 + 7-= − 1-(x2 − 2x + 1) + 7-= − 1x 2 + x + 3 2 2 2 2 2

( ) ( ) 1 5 2 25 1 2 25 25 1 2 5 g(x ) = 4- x− 2- − 16-= 4- x − 5x + 4-- − 16-= 4x − 4x.

Rozwiązujemy równanie

− 1x2 + x + 3 = 1x2 − 5-x 2 4 4 3-2 9- 4- 0 = 4x − 4 x− 3 / ⋅3 2 0 = x − 3x− 4 Δ = 9 + 16 = 25 x = 3-−-5-= −1 lub x = 3-+-5-= 4. 2 2

Dziedziną funkcji jest więc przedział [− 1,4] . Liczymy teraz pochodną funkcji .

h′(x) = x3 − 3x 2 − 4x = x(x2 − 3x − 4 ).

Rozkładamy jeszcze trójmian w nawiasie – ale tak naprawdę chwilę wcześniej już ustaliliśmy, że jego miejsca zerowe to x = − 1 i x = 4 . Zatem

′ h (x) = x(x + 1)(x − 4 ).

Widzimy więc, że w przedziale (− 1,0) pochodna jest dodatnia, a w przedziale (0 ,4) jest ujemna. To oznacza, że funkcja rośnie w przedziale [− 1,0] i maleje w przedziale [0,4] . Największą długość toru otrzymamy więc dla x = 0 . Mamy wtedy