Zadanie nr 7161386
Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych za pomocą fragmentów wykresów funkcji
oraz
(zobacz rysunek).
Funkcje oraz
są określone wzorami
oraz
. Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt
. Koniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej. Oblicz współrzędne punktu
, w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru (tj. odległość końca
toru od początku
) była możliwie największa. Oblicz długość najdłuższego toru.
Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu leżącego na wykresie funkcji
od punktu
wyraża się wzorem
![∘ --------------------- 1 |P R| = -x 4 − x 3 − 2x 2 + 3 2, 4](https://img.zadania.info/zad/7161386/HzadT15x.gif)
gdzie jest pierwszą współrzędną punktu
.
Rozwiązanie
Niech będzie tym punktem wspólnym danych wykresów, który leży po drugiej stronie akwenu niż punkt
(czyli tym, który leży w drugiej ćwiartce układu współrzędnych).
Zauważmy najpierw, że jeżeli jest jakimkolwiek punktem wykresu funkcji
leżącym na brzegu akwenu, to
![(4 − xS )2 ≤ (4− xQ)2 i (1+ yS)2 ≤ (1+ yQ)2](https://img.zadania.info/zad/7161386/HzadR5x.gif)
(niezależnie od tego, po której stronie wierzchołka paraboli jest punkt
). Zatem
![------------------------ ∘ 2 2 ∘ ---------2-------------2 |SP | = (4 − xS ) + (− 1 − yS ) ≤ (4− xQ ) + (− 1 − yQ ) = |QP |,](https://img.zadania.info/zad/7161386/HzadR8x.gif)
co oznacza, że interesującego nas punktu musimy szukać na tej części linii brzegowej, która pochodzi od funkcji
.
Jeżeli jest dowolnym punktem tego wykresu, to z treści zadania wiemy, że
![∘ --------------------- 1 |P R| = -x 4 − x 3 − 2x 2 + 3 2, 4](https://img.zadania.info/zad/7161386/HzadR12x.gif)
więc wystarczy znaleźć największą możliwą wartość funkcji
![1-4 3 2 h(x) = 4x − x − 2x + 32 .](https://img.zadania.info/zad/7161386/HzadR13x.gif)
Zanim jednak to zrobimy, zastanówmy się jaka jest dziedzina funkcji . Aby to zrobić sprawdźmy w jakich punktach przecinają się wykresy funkcji
![f (x) = − 1-(x− 1)2 + 7-= − 1-(x2 − 2x + 1) + 7-= − 1x 2 + x + 3 2 2 2 2 2](https://img.zadania.info/zad/7161386/HzadR15x.gif)
i
![( ) ( ) 1 5 2 25 1 2 25 25 1 2 5 g(x ) = 4- x− 2- − 16-= 4- x − 5x + 4-- − 16-= 4x − 4x.](https://img.zadania.info/zad/7161386/HzadR16x.gif)
Rozwiązujemy równanie
![− 1x2 + x + 3 = 1x2 − 5-x 2 4 4 3-2 9- 4- 0 = 4x − 4 x− 3 / ⋅3 2 0 = x − 3x− 4 Δ = 9 + 16 = 25 x = 3-−-5-= −1 lub x = 3-+-5-= 4. 2 2](https://img.zadania.info/zad/7161386/HzadR17x.gif)
Dziedziną funkcji jest więc przedział
. Liczymy teraz pochodną funkcji
.
![h′(x) = x3 − 3x 2 − 4x = x(x2 − 3x − 4 ).](https://img.zadania.info/zad/7161386/HzadR21x.gif)
Rozkładamy jeszcze trójmian w nawiasie – ale tak naprawdę chwilę wcześniej już ustaliliśmy, że jego miejsca zerowe to i
. Zatem
![′ h (x) = x(x + 1)(x − 4 ).](https://img.zadania.info/zad/7161386/HzadR24x.gif)
Widzimy więc, że w przedziale pochodna jest dodatnia, a w przedziale
jest ujemna. To oznacza, że funkcja
rośnie w przedziale
i maleje w przedziale
. Największą długość toru otrzymamy więc dla
. Mamy wtedy
![h(0) = 32](https://img.zadania.info/zad/7161386/HzadR31x.gif)
i największa możliwa długość toru jest równa
![∘ ----- √ --- √ -- h(x ) = 32 = 4 2 .](https://img.zadania.info/zad/7161386/HzadR32x.gif)
Długość tę otrzymamy dla punktu o współrzędnych
![( ) K = (x,f (x)) = 0,− 1-+ 7- = (0,3). 2 2](https://img.zadania.info/zad/7161386/HzadR34x.gif)
Odpowiedź: ,