Zadanie nr 7521955
Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych za pomocą fragmentów wykresów funkcji
oraz
(zobacz rysunek).
Funkcje oraz
są określone wzorami
oraz
. Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt
. Koniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej. Oblicz współrzędne punktu
, w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru (tj. odległość końca
toru od początku
) była możliwie największa. Oblicz długość najdłuższego toru.
Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu leżącego na wykresie funkcji
od punktu
wyraża się wzorem
![∘ -------------------------------- 1 1 13 39 593 |PR | = -x 4 − -x3 − ---x2 + ---x+ ----, 4 2 8 8 6 4](https://img.zadania.info/zad/7521955/HzadT15x.gif)
gdzie jest pierwszą współrzędną punktu
.
Rozwiązanie
Niech będzie tym punktem wspólnym danych wykresów, który leży po drugiej stronie akwenu niż punkt
(czyli tym, który leży w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych).
Zauważmy najpierw, że jeżeli jest jakimkolwiek punktem wykresu funkcji
leżącym na brzegu akwenu, to
![(xS + 1)2 ≤ (xQ + 1)2 i (yS − 1)2 ≤ (yQ − 1)2](https://img.zadania.info/zad/7521955/HzadR5x.gif)
(niezależnie od tego, po której stronie punktu jest punkt
). Zatem
![∘ ---------------------- ∘ ---------------------- 2 2 2 2 |SP | = (xS + 1 ) + (yS − 1 ) ≤ (xQ + 1 ) + (yQ − 1) = |QP |,](https://img.zadania.info/zad/7521955/HzadR8x.gif)
co oznacza, że interesującego nas punktu musimy szukać na tej części linii brzegowej, która pochodzi od funkcji
.
Jeżeli jest dowolnym punktem tego wykresu, to z treści zadania wiemy, że
![∘ -------------------------------- 1- 4 1-3 13- 2 39- 593- |PR | = 4x − 2x − 8 x + 8 x+ 6 4 ,](https://img.zadania.info/zad/7521955/HzadR12x.gif)
więc wystarczy znaleźć największą możliwą wartość funkcji
![1- 4 1- 3 13- 2 39- 593- h(x) = 4x − 2 x − 8 x + 8 x + 64 .](https://img.zadania.info/zad/7521955/HzadR13x.gif)
Zanim jednak to zrobimy, zastanówmy się jaka jest dziedzina funkcji . Aby to zrobić sprawdźmy w jakich punktach przecinają się wykresy funkcji
i
. Rozwiązujemy równanie
![( )2 x2 = − 1- x − 1- + 4 = − 1x2 + 1-x+ 31- / ⋅2 2 2 2 2 8 31 3x 2 − x − ---= 0 4 Δ = 1 + 93 = 9 4 1− √ 94- 1 + √ 94- x = --------- lub x = --------. 6 6](https://img.zadania.info/zad/7521955/HzadR17x.gif)
Dziedziną funkcji jest więc przedział
![[ √ --- √ --] 1-−---94, 1+----94- 6 6](https://img.zadania.info/zad/7521955/HzadR19x.gif)
Liczymy teraz pochodną funkcji .
![( ) ( ) ′ 3 3 2 13 39 2 3 13 3 h (x) = x − 2-x − -4 x + 8--= x x − 2- − -4- x − 2- = ( ) ( ) ( ) ( √ --) ( √ --) 3 2 13 3 13 13 = x − -- x − --- = x− -- x − ----- x + ----- . 2 4 2 2 2](https://img.zadania.info/zad/7521955/HzadR21x.gif)
Ponieważ i
, w dziedzinie funkcji
![( √ ---) ( √ ---) x − --13- x + --13- < 0 2 2](https://img.zadania.info/zad/7521955/HzadR25x.gif)
(pierwszy nawias jest ujemny, a drugi dodatni). Widzimy więc, że pochodna jest dodatnia w przedziale
i ujemna
. To oznacza, że funkcji
jest rosnąca w przedziale
i malejąca w przedziale
. Największą długość toru otrzymamy więc dla
. Mamy wtedy
![( ) 3- 1- 81- 1- 27- 1-3 9- 39- 3- 593- h 2 = 4 ⋅16 − 2 ⋅ 8 − 8 ⋅ 4 + 8 ⋅ 2 + 64 = = 81-−-108-−-23-4+--468+--593-= 800-= 100-= 25. 6 4 6 4 8 2](https://img.zadania.info/zad/7521955/HzadR33x.gif)
Największa możliwa długość toru jest więc równa
![∘ ----- ∘ --- √ -- h(x ) = 25-= √5--= 5--2-. 2 2 2](https://img.zadania.info/zad/7521955/HzadR34x.gif)
Długość tę otrzymamy dla punktu o współrzędnych
![( ) ( ) 3- 1- 3-7- K = (x ,g(x)) = 2 ,− 2 ⋅1+ 4 = 2,2 .](https://img.zadania.info/zad/7521955/HzadR36x.gif)
Odpowiedź: ,