Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Powinno być jasne, że punkt , dla którego odległość
jest największa to jeden z końców średnicy okręgu wyznaczonej przez prostą
, gdzie
jest środkiem okręgu. Tak jest, bo okrąg o środku
i promieniu
jest styczny do danego okręgu.
Sposób I
Zacznijmy od napisania równania prostej . Do równania postaci
podstawiamy współrzędne punktów
i
.
Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy , czyli
. Zatem
i prosta ma równanie
. Szukamy teraz punktów wspólnych tej prostej z danym okręgiem.
Mamy wtedy odpowiednio i
. Zatem
lub
. Patrząc na obrazek (lub licząc odległości
) stwierdzamy, że interesujący nas punkt to
.
Sposób II
Zauważmy, że łatwo obliczyć długość odcinka .
W takim razie punkt to punkt wspólny danego okręgu o środku
i okręgu o środku
i promieniu
. Musimy więc rozwiązać układ równań
Odejmujemy teraz od pierwszego równania drugie (żeby skrócić kwadraty) i mamy.
Podstawiamy to wyrażenie do danego równania okręgu.
Zatem i
. Stąd
.
Odpowiedź: