/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Zadania na ekstremum/Największa długość

Zadanie nr 7579442

W układzie współrzędnych dany jest punkt A = (9,4) . Na okręgu o równaniu (x − 1)2 + (y − 2)2 = 1 7 wyznacz współrzędne punktu B , dla którego odległość |AB | jest największa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Powinno być jasne, że punkt B , dla którego odległość |AB | jest największa to jeden z końców średnicy okręgu wyznaczonej przez prostą AO , gdzie O = (1,2 ) jest środkiem okręgu. Tak jest, bo okrąg o środku A i promieniu AB jest styczny do danego okręgu.

Sposób I

Zacznijmy od napisania równania prostej AO . Do równania postaci y = ax + b podstawiamy współrzędne punktów A i O .

{ 4 = 9a + b 2 = a+ b

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy 8a = 2 , czyli a = 1 4 . Zatem

1- 7- b = 2− a = 2 − 4 = 4

i prosta AO ma równanie y = 1x+ 7 4 4 . Szukamy teraz punktów wspólnych tej prostej z danym okręgiem.

( ) 2 (x− 1)2 + x-+ 7-− 2 = 17 4 4 ( ) 2 (x− 1)2 + x-− 1- = 17 4 4 2 1 2 (x− 1) + --(x − 1) = 1 7 16 (x− 1)2 = 17 ⋅ 16-= 16 17 x− 1 = − 4 ∨ x − 1 = 4 x = − 3 ∨ x = 5.

Mamy wtedy odpowiednio 1 7 y = 4x + 4 = 1 i 1 7 y = 4x + 4 = 3 . Zatem B = (− 3,1) lub B = (5,3 ) . Patrząc na obrazek (lub licząc odległości AB ) stwierdzamy, że interesujący nas punkt to B = (− 3,1) .

Sposób II

Zauważmy, że łatwo obliczyć długość odcinka AB .

∘ ------------------- √ --- √ --- √ --- √ --- AB = AO + OB = (1− 9)2 + (2− 4)2 + 17 = 68 + 17 = 3 17.

W takim razie punkt B to punkt wspólny danego okręgu o środku O i okręgu o środku A i promieniu √ --- AB == 3 17 . Musimy więc rozwiązać układ równań

{ 2 2 (x − 1) + (y− 2) = 17 (x − 9)2 + (y− 4)2 = 153 { x2 − 2x + 1 + y2 − 4y + 4 = 1 7 x2 − 18x + 81 + y2 − 8y + 1 6 = 153. { x2 − 2x + y2 − 4y = 12 2 2 x − 18x + y − 8y = 56.

Odejmujemy teraz od pierwszego równania drugie (żeby skrócić kwadraty) i mamy.

16x + 4y = −4 4 ⇒ y = − 4x − 1 1.

Podstawiamy to wyrażenie do danego równania okręgu.

(x − 1)2 + (− 4x − 11 − 2)2 = 1 7 2 2 (x − 1) + (− 4x − 13) = 1 7 2 2 x − 2x + 1 + 16x + 1 04x + 169 = 17 17x 2 + 10 2x+ 153 = 0 / : 17 2 x + 6x + 9 = 0 (x + 3)2 = 0.

Zatem x = − 3 i y = − 4x− 11 = 1 . Stąd B = (− 3 ,1 ) .  
Odpowiedź: B = (− 3,1)

Wersja PDF