W układzie współrzędnych dany jest punkt A=(9,4). Na okręgu o... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Największa długość, 7579442

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Zadania na ekstremum

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Zadania na ekstremum/Największa długość

Zadanie nr 7579442

W układzie współrzędnych dany jest punkt $A = (9,4)$ . Na okręgu o równaniu $(x − 1)2 + (y − 2)2 = 1 7$ wyznacz współrzędne punktu $B$ , dla którego odległość $|AB |$ jest największa.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Powinno być jasne, że punkt $B$ , dla którego odległość $|AB |$ jest największa to jeden z końców średnicy okręgu wyznaczonej przez prostą $AO$ , gdzie $O = (1,2 )$ jest środkiem okręgu. Tak jest, bo okrąg o środku $A$ i promieniu $AB$ jest styczny do danego okręgu.

Sposób I

Zacznijmy od napisania równania prostej $AO$ . Do równania postaci $y = ax + b$ podstawiamy współrzędne punktów $A$ i $O$ .

{ 4 = 9a + b 2 = a+ b

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy $8a = 2$ , czyli $a = 1 4$ . Zatem

1- 7- b = 2− a = 2 − 4 = 4

i prosta $AO$ ma równanie $y = 1x+ 7 4 4$ . Szukamy teraz punktów wspólnych tej prostej z danym okręgiem.

( ) 2 (x− 1)2 + x-+ 7-− 2 = 17 4 4 ( ) 2 (x− 1)2 + x-− 1- = 17 4 4 2 1 2 (x− 1) + --(x − 1) = 1 7 16 (x− 1)2 = 17 ⋅ 16-= 16 17 x− 1 = − 4 ∨ x − 1 = 4 x = − 3 ∨ x = 5.

Mamy wtedy odpowiednio $1 7 y = 4x + 4 = 1$ i $1 7 y = 4x + 4 = 3$ . Zatem $B = (− 3,1)$ lub $B = (5,3 )$ . Patrząc na obrazek (lub licząc odległości $AB$ ) stwierdzamy, że interesujący nas punkt to $B = (− 3,1)$ .

Sposób II

Zauważmy, że łatwo obliczyć długość odcinka $AB$ .

∘ ------------------- √ --- √ --- √ --- √ --- AB = AO + OB = (1− 9)2 + (2− 4)2 + 17 = 68 + 17 = 3 17.

W takim razie punkt $B$ to punkt wspólny danego okręgu o środku $O$ i okręgu o środku $A$ i promieniu $√ --- AB == 3 17$ . Musimy więc rozwiązać układ równań