W układzie współrzędnych dany jest punkt A=(9,4). Na okręgu o... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Największa długość, 7579442

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Zadania na ekstremum/Największa długość

Zadanie nr 7579442

W układzie współrzędnych dany jest punkt $A = (9,4)$ . Na okręgu o równaniu $(x − 1)2 + (y − 2)2 = 1 7$ wyznacz współrzędne punktu $B$ , dla którego odległość $|AB |$ jest największa.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Powinno być jasne, że punkt $B$ , dla którego odległość $|AB |$ jest największa to jeden z końców średnicy okręgu wyznaczonej przez prostą $AO$ , gdzie $O = (1,2 )$ jest środkiem okręgu. Tak jest, bo okrąg o środku $A$ i promieniu $AB$ jest styczny do danego okręgu.

Sposób I

Zacznijmy od napisania równania prostej $AO$ . Do równania postaci $y = ax + b$ podstawiamy współrzędne punktów $A$ i $O$ .

{ 4 = 9a + b 2 = a+ b

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy $8a = 2$ , czyli $a = 1 4$ . Zatem

1- 7- b = 2− a = 2 − 4 = 4

i prosta $AO$ ma równanie $y = 1x+ 7 4 4$ . Szukamy teraz punktów wspólnych tej prostej z danym okręgiem.

( ) 2 (x− 1)2 + x-+ 7-− 2 = 17 4 4 ( ) 2 (x− 1)2 + x-− 1- = 17 4 4 2 1 2 (x− 1) + --(x − 1) = 1 7 16 (x− 1)2 = 17 ⋅ 16-= 16 17 x− 1 = − 4 ∨ x − 1 = 4 x = − 3 ∨ x = 5.

Mamy wtedy odpowiednio $1 7 y = 4x + 4 = 1$ i $1 7 y = 4x + 4 = 3$ . Zatem $B = (− 3,1)$ lub $B = (5,3 )$ . Patrząc na obrazek (lub licząc odległości $AB$ ) stwierdzamy, że interesujący nas punkt to $B = (− 3,1)$ .

Sposób II

Zauważmy, że łatwo obliczyć długość odcinka $AB$ .

∘ ------------------- √ --- √ --- √ --- √ --- AB = AO + OB = (1− 9)2 + (2− 4)2 + 17 = 68 + 17 = 3 17.

W takim razie punkt $B$ to punkt wspólny danego okręgu o środku $O$ i okręgu o środku $A$ i promieniu $√ --- AB == 3 17$ . Musimy więc rozwiązać układ równań