Wyznacz współrzędne punktu P leżącego na wykresie funkcji y=7x-x^2-15,... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Najmniejsza suma, 2062444

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Zadania na ekstremum/Najmniejsza suma

Zadanie nr 2062444

Wyznacz współrzędne punktu $P$ leżącego na wykresie funkcji $2 y = 7x− x − 15$ , dla którego suma odległości od osi układu współrzędnych jest najmniejsza.

Rozwiązanie

Możemy rozpocząć od szkicowego rysunku – parabola $2 y = −x + 7x − 15$ ma wierzchołek w punkcie

( ) ( ) (xw,yw ) = − b-,− -Δ- = 7,− 11- 2a 4a 2 4

i ma ramiona skierowane w dół.

Ponieważ $Δ = − 11 < 0$ parabola znajduje się w całości pod osią $Ox$ i suma odległości punktu $P = (x,y)$ tej paraboli od osi układu jest równa

f(x) = |x| + |y| = |x |− y = 2 = |x| − (−x + 7x − 15) = = x 2 − 7x + |x |+ 15 = { x2 − 7x + x + 15 dla x ≥ 0 = 2 { x − 7x − x + 15 dla x < 0 x2 − 6x + 15 dla x ≥ 0 = x2 − 8x + 15 dla x < 0.

Pozostało wyznaczyć wartość najmniejszą tej funkcji. Pierwszy wzór osiąga najmniejszą wartość dla $x = 3$ i jest ona równa $9 − 18 + 15 = 6$ . Drugi wzór osiąga najmniejszą wartość dla $x = 4$ , ale punkt ten jest na prawo od $x = 0$ , więc funkcja ta jest malejąca na przedziale $(− ∞ ,0⟩$ . Zatem najmniejsza możliwa wartość drugiego wzoru to wartość w $x = 0$ , czyli 15.