Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2062444

Wyznacz współrzędne punktu P leżącego na wykresie funkcji  2 y = 7x− x − 15 , dla którego suma odległości od osi układu współrzędnych jest najmniejsza.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Możemy rozpocząć od szkicowego rysunku – parabola  2 y = −x + 7x − 15 ma wierzchołek w punkcie

 ( ) ( ) (xw,yw ) = − b-,− -Δ- = 7,− 11- 2a 4a 2 4

i ma ramiona skierowane w dół.


PIC


Ponieważ Δ = − 11 < 0 parabola znajduje się w całości pod osią Ox i suma odległości punktu P = (x,y) tej paraboli od osi układu jest równa

f(x) = |x| + |y| = |x |− y = 2 = |x| − (−x + 7x − 15) = = x 2 − 7x + |x |+ 15 = { x2 − 7x + x + 15 dla x ≥ 0 = 2 { x − 7x − x + 15 dla x < 0 x2 − 6x + 15 dla x ≥ 0 = x2 − 8x + 15 dla x < 0.

Pozostało wyznaczyć wartość najmniejszą tej funkcji. Pierwszy wzór osiąga najmniejszą wartość dla x = 3 i jest ona równa 9 − 18 + 15 = 6 . Drugi wzór osiąga najmniejszą wartość dla x = 4 , ale punkt ten jest na prawo od x = 0 , więc funkcja ta jest malejąca na przedziale (− ∞ ,0⟩ . Zatem najmniejsza możliwa wartość drugiego wzoru to wartość w x = 0 , czyli 15.

Podsumowując, najmniejsza wartość funkcji y = f(x) to 6 = f(3) i odpowiada ona punktowi

P = (3,21 − 9 − 15 ) = (3,− 3).

 
Odpowiedź: P = (3,− 3)

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!